Ткачев Ю.А. Открытые и закрытые числовые системы

40 (5.6) искомых коэффициентов корреляции между x i и x j ( i 6 = j ), можно вычислить по формуле (5.5) как дисперсию произведения двух случай- ных величин y ≈ x 1 x 2 , где y – среднее значение дисперсии произведения, x 1 – первый сомножитель, равный в нашем случае y i , x 2 – второй сомно- житель, равный в нашем случае m P j =1 x j (сумме компонентов x открытой системы). Тогда s 2 y = x 2 1 x 2 2 ( s 2 1 x 2 1 + s 2 2 x 2 2 + 2 cov (1 , 2) ) , (5 . 7) где x 2 1 и x 2 2 – сомножители произведения, s 2 1 , s 2 2 – дисперсии сомножи- телей, cov (1 , 2) – ковариация сомножителей. Подставим в эту формулу сомножители из формулы (5.5): σ 2 x = y 2 · Σ 2 x { s 2 y y 2 + σ 2 Σ x Σ 2 x + 2 cov ( y, Σ x ) } , (5 . 8) где σ 2 x – среднее значение дисперсии компонента открытой системы в натуральном измерении, Σ x – среднее значение суммы компонентов от- крытой системы в натуральных измерениях, s 2 y – дисперсия доли того же компонента, σ 2 Σ x – дисперсия суммы компонентов открытой системы в натуральных измерениях, cov – ковариация сомножителей, y 2 – среднее значение квадрата доли, σ 2 Σ x – дисперсия суммы компонентов x , σ 2 Σ x / Σ x – дисперсия суммы компонентов x , приведённая к масштабу дисперсии до- ли. В итоге получаем: σ 2 x Σ 2 x = s 2 y + σ 2 Σ x · y 2 Σ 2 x + 2 cov ( y, Σ x ) · y 2 . (5 . 9) В соответствии с этой формулой требующаяся нам величина – дисперсия компоненты открытой системы σ 2 x , зависит не только от дисперсии долей соответствующей закрытой системы s 2 y , а от трёх величин, включая дис- персию суммы компонентов открытой системы σ 2 Σ x и ковариацию доли компонента y с суммой компонентов Σ x : cov ( y, Σ x ) = r ( y, Σ x ) s y y σ Σ x Σ x , (5 . 10) которая включает в себя среднее значение и дисперсию суммы компонен- тов открытой системы. А эти величины могут быть получены только из открытой системы, т. е. в общем случае никак не могут быть получены по данным закрытой системы. Итак, в общем случае восстановление σ 2 x только по s 2 y невозможно .