Ткачев Ю.А. Открытые и закрытые числовые системы

57 где s 2 y – дисперсия частного, v 2 , u 2 – средние значения квадратов чис- лителя и знаменателя, s 2 v , s 2 u – дисперсии числителя и знаменателя соот- ветственно, s v /u, s u /u – нормированные на средние квадратические от- клонения числителя и знаменателя, r vu – коэффициент корреляции между числителем и знаменателем. Применим эту формулу для нашего случая, не опуская индексов, обозначающих принадлежность величин к компо- нентам ( i ) и пробам ( q ): s 2 y = x qi Σ 2 x q ( s 2 x qi x 2 qi + s 2 Σ x q Σ 2 x q − 2 r ( x qi , Σ x q ) s x qi x qi · s Σ x qi Σ x qi ) , (8 . 4) где y iq – доля компонента i в пробе q , x qi – количество компонента i в про- бе q , Σ x q – сумма количества компонентов x в пробе q , s 2 x qi – дисперсия компонента i в пробе q , s 2 Σ q – дисперсия суммы компонентов в пробе q , r – коэффициент корреляции между числителем и знаменателем в открытой системе. Эту длинную формулу рекомендуется рассмотреть скрупулёзно. Во- первых, она выдерживает проверку на размерность: каждый её член ве- личина безразменая, как и результат, дисперсия отношения двух величин одинаковой размерности. Во-вторых, влияние коэффициента корреляции на дисперсию долей не противоречит здравому смыслу: при увеличении положительного r дисперсия s 2 y уменьшается. В-третьих, дисперсия уве- личивается при увеличении значения натурального (исходного) компонен- та, а также дисперсия их суммы. При нулевом значении их дисперсий задача вырождается, так как соответствует случаю равенства всех одно- имённых компонентов во всех пробах, т. е. множество проб как бы пре- вращается в одну. Формула (8.4) не решает проблему установления функции распределе- ния долей компонентов по их исходным количествам в открытой числовой системе. При теоретическом решении этой проблемы нам потребовалось бы найти формулы для оценки ещё двух-трёх моментов распределения, аналогичных в чем-то формуле (8.4). Однако для практического решения этой «прямой» задачи очень просто воспользоваться непосредственным подсчетом вероятностей и их изображением в виде гистограммы или в табличной форме. При решении «обратной» задачи, оценки функций распределения пер- вичных количеств компонентов по их долям в известной нам закрытой системе следует воспользоваться разработанной нами и изложенной в раз- деле 7 методикой. Таким образом, проблемы преобразования открытой си- стемы в закрытую и обратно, в том числе элиминацию ложной корреляции между долями компонентов можно считать решёнными. В заключение остановимся на анализе следующего важного тезиса А.В. Фааса и О.В. Сарманова: «Не исключено, что наблюдаемые в геохи- мии скошенные распределения процентных величин (т. е. долей – Ю. Т.) могут иногда возникнуть лишь из-за процентного пересчёта нормально распределённых величин» [16, стр. 118]. Это предвидение уже оправдыва- ется. Практики-геохимики давно замечали, что содержание «малых» эле- ментов обычно имеет правую асимметрию и квалифицируется ими как