Глава 9 КВАНТОВЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ГРУППЫ КЭЛИ-КЛЕЙНА В данной главе рассматриваются квантовые ортогоналвные группы Кэли-Клейна с декартовыми образующими. Для этого систематическое определение квантовых деформаций классических простых групп и алгебр Ли в так называемом «симплектическом» базисе работы [72] переформулируется в декартов базис. Приводятся в явном виде коммутационные соотношения декартовых образующих для так называемых евклидовых квантовых ортогоналвных групп при произволвном N. Квантовые ортогоналвные алгебры Кэли-Клейна определяются как двойственные объекты к соответствующим квантовым группам. Полученные общие конструкции иллюстрируются на примерах квантовых групп и алгебр низших размерностей. 9.1. Линейные преобразования образующих квантовых групп Ли и квантовых векторных пространств Квантовые группы и алгебры Ли как алгебраические структуры представляют собой некоммутативные и некокоммутативные алгебри Хопфа. Согласно [85], имеем следующие определения. Определение 9.1.1. Ассоциативная алгебра А называется алгеброй Хопфа, если существуют два гомоморфизма: коумножение (Д : А —> — А ® А) и коединица (е : А —> С) и антигомоморфизм (антипод 5 : А —> А) такие, что (гЛ ® Д)ДА = (Д ® йЛАА, (гЛ ® е)ДА = (е ® гД)ДА = А, т(гЛ ® 8)&А = т(8 ® гй)ДА = е(А)1 (9.1) (9.2) (9.3) где т еств обычное умножение т(а ® Ь) = аЬ. Определение 9.1.2. Алгебра А с коумножением и коединицей, удовлетворяющим условиям (9.1), (9.2), называется биалгеброй. В соответствии с теорией квантования групп и алгебр Ли [72], алгебра С((у) некоммутативных многочленов от п2 переменных еств свободная ассоциативная С-алгебра с единицей, порожденная элементами = 1,...,п. Для произволвной невырожденной матрицы Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=