158 Гл. 9. Квантовые ортогональные группы Кэли-Клейна Я Е Мп2(С) двусторонний идеал 1д в алгебре С{1^) порождается коммутационными соотношениями ЯТТ, = ТТЯ, (9.4) где Т\ = Т ® I, Т2=1®ТЕ МГ^^С^з)'), Т = (Уу)”у=1 Е Л7п(С(Уу)) матрица порядка п х п с элементами из С(Уу), а I — единичная матрица в М„(С). Здесв М^Ж) обозначает множество квадратных матриц размерности N с элементами из К Определение 9.1.3. Фактор-алгебра Ая(!) = С{Ж')/1я называется алгеброй функций на квантовой матричной алгебре ранга п, ассоциированной с матрицей Я. Алгебра Ад является биалгеброй с коумножением А вида АТ = Т®Т, Ду- = 1к{ (9.5) к=1 и коединицей е = I, е((у) = 8ц. (9.6) Напомним данное в [72] определение квантового векторного пространства. Пуств С{х1..., хп} — алгебра некоммутативных многочленов от переменнвш хц...,Хп, а Р Е Мпч(С) — матрица перестановки в С” О С”. Она имеет матричные элементы Рцы1 = 8ц6^к, г,Д,к,1 = = 1... ,п и для любых и,хЕ С” Ри ®х = х®и. Положим Я = РЯ. где Я Е МпА^С) — произволвная невырожденная матрица порядка п х п2, и для каждого многочлена /(У) Е С[У] обозначим через 1у,д двусторонний идеал в С(ж,Хп), порожденный соотношениями /(Я) (ж®®) = 0, (9.7) где х = (х1..., Хп)* Е ф”=1С(ж1, ..., Хп) — вектор-столбец с элементами из алгебры С{^1,... ,Хп)- В терминах, образующих ац, соотношения (9.7) принимают вид п 12 /(.^ц.к1Хкх1 = о, г,д = 1,...,п. (9.8) к,1=1 Определение 9.1.4. Фактор-алгебра Суд (ж) — С(зЦ, ... , Хп) А уц называется алгеброй функций на квантовом п-мерном векторном пространстве, ассоциированном с многочленом /(У) и матрицей Я. Действие квантовой матричной алгебры Ад(У) на квантовом векторном пространстве Су д(ж) определяется отображением 8 : С7>й(ж) -ю Ая{1) ® С^дгЖ) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=