9.1. Линейные преобразования образующих 159 5{Х)=Т®Х, 6(хД = ж/г, I = 1, ... , п. (9.9) к=1 Это действие не зависит от выбора матрицы К. Рассмотрим, как трансформируются определяющие соотношения Адг<() и ее действие на квантовом векторном пространстве Суд(ж) при линейном преобразовании образующих. Перейдем в алгебре С(ж, •••,*п) к новым образующим у,... ,уп с помощвю невырожденной матрицы Б Е Мп(С) по формуле п у = Б-~х, = 'Фею*.- (9.10) к=1 где через г— Е С обозначен! элементы обратной матриц! Б-1 = = (гу)"-=^1- Получим алгебру С{у,....уп) некоммутативных многочленов от переменнвш у,...,уп- Рассмотрим двусторонний идеал 1щп в С{у,.. .уф), порожденный соотношениями $Ку®У} =0> Й= (Ш О). (9.11) Определение 9.1.5. Назовем фактор-алгебру СпгЛ(у) = С{у\..... уп}/1/я (9.12) алгеброй функций на квантовом п-мерном векторном пространстве с образующими у, ассоциированном с многочленом /ф) и матрицей К. Утверждение 9.1.1. Пусть образующие V = (ы.?)?7=1 квантовой матричной алгебры А^ф) связаны с образующими Т = ((^^.=1 алгебры АКф) линейными соотношениями Б = Б-ТБ, Т = БББ-, (9.13) тогда биалгебра А^(и) изоморфна биалгебре А^ф), если П = (БбОу-'ПфяО). (9.14) Доказательство. Найдем связв матриц ТцТг с матрицами Б\ = Б <®1 и Б2 = I ®Б. Имеем 1\ = Т®1 = БББ- ®1 = {Б®1)(Б 01) (.1-1 ® Г) = БДф-Д, (9.15) где Б\ = Б ® I. Б{ = Б 1 ® I. Аналогично Т2 = Б2Б2Бф, Бг = 1®Б. БД1 =1®Б~, (9.16) Вывод соотношений (9.15), (9.16) основан на формуле (А®В')(С ®Б) = АС ®ББ- (9.17) справедливой и в некоммутативном случае, если элементы внутренних матриц Б и С коммутируют между собой. Вставляя между сомноКоми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=