160 Гл. 9. Квантовые ортогональные группы Кэли-Клейна жителями уравнения (9.4) единичную матрицу I = (В ® В)(В® В)~1 и домножая его слева на (Б ® Б)-1 и справа на Б ® Б, получаем коммутационною соотношения для образующих оу в виде ДБ^1Б2 = Б2Е-Д, (9.18) где матрица К связана с матрицей К соотношением (9.14). Запишем коумножение А для образующих V. Посколвку А гомоморфизм, то Д77 = 7) “ ) А7Т) = 7" о Т®Т!) = = П'иб/Б 1 )К(]Б7Б_1)Р = 77 'б/Ж = 7®7.;. (9.19) Здесв исполвзуется тот факт, что В — числовая матрица, поэтому операция ® для нее сводится к обычному умножению матриц. Аналогично коединица для образующих 77 ь(77) = е(р-1ТР) = В~~е(Т''В = I. (9.20) Таким образом, алгебра А^(и) является биалгеброй с коумножением (9.19) и коединицей (9.20), задаваемыми формалвно теми же формулами, что и для образующих Т, но коммутационные соотношения (9.18) образующих 77 отличаются от (9.4). □ Чтобы получитв действие квантовой матричной алгебры А&(и) на квантовом векторном пространстве С”~(у), подставим в формулу (9.9) вместо образующих х их выражения (9.10) через образующие у, а вместо матрицы Г — ее выражение (9.13) через матрицу 77, получим 8(Ву) = В1В~~ ® Ву = В1Г ® у, где учтены свойства отображения 8, а именно: <(саж) = аФ(ж), а Е С и 8(х + х') = 8(х) +<5(ж'). Домножая обе части предыдущего уравнения на В~1, получаем п ^у)^^ 8(ул.) = ^Щ®ук. (9.21) &=1 Отображение 8 : С” -Ауу) —> А(и) ® С” д(у), определяемое формулой (9.21), задает действие квантовой матричной алгебры А^Ауи) на квантовом векторном пространстве С” ~(у) с образующими у. В коммутативном случае (матрица К равна единичной матрице) формулы (9.13) описывают преобразование подобия матриц, когда координаты х и у в векторном пространстве С” связаны соотношением (9.10). При этом кодействия (9.9) и (9.21) индуцируются обычным действием матричной алгебры Л7„(С) на С”. Поэтому формулы данного раздела можно рассматриватв как аналог преобразования подобия матриц с некоммутативными элементами при линейном преобразовании некоммутативных образующих квантового векторного пространства. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=