Глава 1 ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ КЭЛИ-КЛЕЙНА В этой главе вводится основной инструмент исследования — алгебра Пименова с нилвпотентными образующими, даются определения ортогоналвных, унитарных и симплектических групп Кэли—Клейна. В ней показано, что основною характеристики этих групп находятся преобразованием соответствующих величин классических групп. Далее исследуется структура переходов между группами и устанавли- ваеся, что в качестве исходной для получения всего набора групп Кэли-Клейна можно взятв группу в произволвном нерасслоенном пространстве. 1.1. Дуальные числа и алгебра Пименова 1.1.1. Дуальные числа. Дуалвные числа были введены [128] еще в позапрошлом веке. Они исполвзовалисв [49] при построении теории винтов в трехмерных пространствах Евклида, Лобачевского и Римана, при описании неевклидовых пространств [73, 74], при аксиоматическом изучении пространств с постоянной кривизной [64, 65, 69]. Некоторые применения дуалвных чисел в кинематике содержатся в работе [83]. Теория дуалвных чисел как числовых систем изложена в монографиях [6, 43]. Тем не менее нелвзя сказатв, что дуалвные числа широко известны, поэтому мы дадим их краткое описание. Определение 1.1.1. Ассоциативной алгеброй ранга п над полем дейст- вителвных чисел Ж называется п-мерное векторное пространство над этим полем, в котором определена операция умножения, ассоциативная а(Ьс) = (аЬ)с, дистрибутивная относителвно сложения (а + Ь)с = ас + + Ьс и связанная с умножением элементов на действителвные числа равенством (ка)Ь = к{аЬ) = а(кЬ), где а,Ь,с — элементы алгебры, к — действителвное число. Если в алгебре существует такой элемент е , что для любого элемента а справедливо ае = еа = а, то элемент е называют единицей. Определение 1.1.2. Дуалвные числа а = «о + «1И, ао,а1 €> еств элемента ассоциативной алие-Три ранга 2 с единицей, дуалвная образующая которой удовлетворяет условию ) = 0. Для суммы, произведения и частного дуалвных чисел имеем а + Ь = (ао + ь\а\) + (Ьо + И&О = °о + Ьо + ь 1 (й1 + Ь1), аЬ = (а0 + Уы«1Г(Ьо + ь\Ь\) = аоЬо + м (ацЬо + аоЫ)> Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=