18 Гл. 1. Группы и алгебры Кэли-Клейна а Ь ао + ЦЛ1 Ьо + И&1 (1.1) Деление не всегда выполнимо: чисто дуалвные числа 02161 не имеют обратного элемента. Поэтому дуалвные числа не образуют поля. Как алгебраическая структура они представляют собой колвцо. Дуалвные числа равны а = Ь, если равны их вещественные и чисто дуалвные части «о = Ьо, «1 = Ь1- Следователвно, уравнение ар1 = Ь1И имеет единственное решение а\ = Ь[ при а\, Ь[ С 0. Этот факт мы будем за- писыватв в виде с 1 / с 1 = 1 и именно так следует трактоватв сокращения дуалвных единиц, посколвку деление на дуалвную единицу 1 / с 1 не определено. Функции от дуалвного переменного х = жо + /^1Ж1 определяются своими разложениями в ряд Тейлора /(ж) = /(жд) + ГХ1 9^Х0•. (1.2) В частности, 8П1Ж = 8111Жо + Г1Ж1 СО8Ж0, 8111(^1^1) = ЦХ\, СО8Ж = СО8Ж0 — Г1Ж1 8ШЖо, СО8(б1Ж1) = 1. (1.3) Согласно (1.2), разноств двух функций равна /(ж) - Цх) = /(» - Л(ж0) + 61Ж1 > (1 -4) поэтому если вещественные части /^ж^о) и Лфжо) тождественно равны, то тождественно одинаковыми будут функции /(ж) и /гфж). Отсюда следует [43], что в области дуалвных чисел сохраняются все тождества обыкновенной алгебры и тригонометрии, все теоремы дифференци- алвного и интегралвного исчисления. В частности, производная от функции дуалвного переменного по дуалвному переменному находится по формуле _ 1а/ж + (0^1 (1.5) ах дхо \ дх^ ) 1.1.2. Алгебра Пименова. Рассмотрим более общую ситуацию, когда в качестве образующих алгебры берутся несколвко нилвпотент- ных единиц (термин «нилвпотентный» исполвзуется в далвнейшем вместо термина «дуалвный»), Р. И. Пименов первый ввел [64, 65, 69] несколвко нилвпотентных коммутативных единиц и исполвзовал их при едином аксиоматическом описании пространств с постоянной кривизной. Поэтому полученную алгебру назовем алгеброй Пименова и обозначим Р„(г). Определение 1.1.3. Алгеброй Пименова Р„р) называется ассоциативная алгебра с единицей и п нилвпотентными образующими ц, о• • • • , Ьп со свойствами /,/ = ^,6/. 0, к О р, 4 = 0, р, к = 12,,.., п. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=