1.1. Дуальные числа и алгебра Пименова 19 Любой элемент из алгебры Рпр) является линейной комбинацией одночленов = = =2 ...рг, к\ < < ... < кг, которые вместе с единичным элементом образуют базис в алгебре как в линейном пространстве размерности 2”: п п °‘к\...кг^к\ • • • ^кг- (1-6) г=1 ^,...,^=1 Эта записи становится однозначной, если наложить дополнительное условие <к^< ... <кг или же условие симметричности коэффициентов по индексам к\,...кг. Два элемента а,Ь алгебры Р„(г) равны, если равны их коэффициенты в разложении (1.6), то есть ао = Ьо, ак[...кг = .р- Как и в случае дуальных чисел, это определение равенства элементов алгебры Р„(г) выражается в допустимости сокращения одинаковых (с одним и тем же индексом) нильпотентных образующих ьу/ьу = 1, к = 1,2,..., п (но не нН™ или 1т/ьу, к . т, поскольку такие выражения не определены). Здесь уместно сравнить алгебру Пименова Р„(г) с грассмановой алгеброй Г2П(е/, т. е. ассоциативной алгеброй с единицей, в которой система нильпотентных образующих щ, е,,.., =2п, = = 0 обладает свойствами антикоммутативности еуер = —ерф 0, р Ф к, р,к = 1,..., 2п. Любой элемент / грассмановой алгебры Г2„(е/ представим в виде [5] 2п 2п /Д) = ло + +Е Е (1.7) г=1 к\,,..,кг = 1. причем однозначно, если потребовать к\ <к^< ...<кг или наложить условие кососимметричности Д.../^ п0 индексам. Если в разложении (1.7) отличны от нуля лишь слагаемые с четным г, то элемент / называется четным по отношению к системе канонических образующих Ед, если же в (1.7) отличны от нуля слагаемые с нечетным г, то / называется нечетным элементом. Как линейное пространство грассманова алгебра распадается на четное Г!]п и нечетное == подпространства Г2„(е/ = Г2„ + Г2„, причем ]=„ является не только подпространством, но и подалгеброй. Рассмотрим отличные от нуля произведения Е2й-1^2& образующих грассмановой алгебры ДпД/ при к= 1,2,,..,п. Легко видеть, что эти произведения обладают теми же свойствами, что и образующие Н = ^2к~12к> к=1;2;..,п^. Таким образом, алгебра Пименова Р„(г) есть подалгебра четной части 1= грассмановой алгебры ДДе). Отметим также, что четные произведения грассмановых антикоммутирующих образующих называют еще параграссмановыми переменными. Эти переменные используются для классического и квантового описания массивных и безмассовых частиц с целым спином [18, 19, 37], а также в теории струн [40]. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=