20 Гл. 1. Группы и алгебры Кэли-Клейна 1.2. Ортогональные группы и алгебры Кэли-Клейна 1.2.1. Три фундаментальные геометрии на пряхой. Введем эллиптическую геометрию не прямой. Вращения р* = х$ = Ревазу* ~ а* 8^р^^р*х /. о\ х\' = нт у* + х\ соз у* ' из группы 50>(2) переводят окружности 8* = Щ2 + ж*2 = 1} на евклидовой плоскости К,2 в себя. Отождествим диаметрально противополаж- лме точки окружности и введем внутреннюю координату и* = а*/а^$. Тогда вращениям (1.8) в Н,2 аиа 90* к (—л72,7г/2) отвечают преобразования ♦ _ ♦ ю* = Г Щ : , н*=1ём*. а*лЖ (1.9) 1 О ггР а * у ' которые образуют группу переносов (группу движений) б?1 эллиптической прямой с законом композиции Рассмотрим представление группы 50(2) в продтрандтве дифференцируемых функций не Н,2, определяемое левыми сдвигами = /(жШ). (МП Генератор (инфинитезимальный оператор) представления Х*/(ж*) = Л{Т^■V*^^X*^\ю=Р’ (1.12) отвечающий преобразованию (1.8), легко найти: хХоХП = жД-жД. (1-13) Для представления группы Г 1 левыми сдвигами в пространстве дифференцируемых функций не эллиптической прямой генератор Я*, отвечающий преобразованию (1.9), имеет вид Я*(щ*) = (1+щ*2)-^. (1.14) С-Х Отметим также, что вращениям д(м*) € 50(2) отвечает матричный генератор (1.15) Преобразование евклидовой плоскости Иг, заключающееся в умножении декартовой координаты р\ не параметр ^'1, с : Ю л Н2(Д) ■>хй=Рп, ^1=0^1, (1.16) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=