1.2. Ортогональные группы и алгебры Кэли-Клейма 21 где 21 = 1и,б переводит Н2 в плоскости Н,2(у’1), геометрия которой определяется метрикой ж2(фф = жд + фОж,. Легко видеть, что при ) 1 = г получаем плоскость Минковского, а при у’1 = р — плоскость Галилея. Наша основная идея состоит в том, что преобразование геометрий (1.16) индуцирует преобразование соответствующих групп движений и их алгебр. Покажем, как можно естественно получить эти преобразования. Мероопределение углов на евклидовой плоскости ГЛ, определяется отношением ж*/жд, которое при преобразовании (1.16) переходит в у■1^1с/®Д1 т.е. углы преобразуются по закону ))* = уцр. Звездочкой мы отмечаем исходные величины (координаты, углы, генераторы и т. д.), а преобразованные величины обозначаются тем же символом без звездочки. Заменим в (1.8) координаты согласно (1.16), а углы — по найденному закону преобразования и умножим обе части второго уравнения на у’у—1, получим вращения на плоскости В.2(фф: жд = Жд СО8У19З — Ж1У1 8^I1УсУ>1 , 1 . . + . (1.17) х^ = жо°т81пд1<? + Ж1 еозду?, ' ' которые образуют группу 30(2; фф. Согласно (1.3), соз/цу = 1, 8111619? = рр, поэтому преобразования из группы 80(2; ц) есть преобразования Галилея, а элементы из группы 30(2; г) есть преобразования Лоренца, если интерпретировать жд как время, а Ж1 как пространственную координату. Область задания Ф(фф группового параметра <р такова: Ф(1) = (—7/, 7г/2), Ффф = Ф(ф = К. Вращения (1.17) сохраняют окружность 81(фф = {жж+фОж, = 1} (рис. 1.1) на плоскости В-2(фф. Отождествление диаметрально противоположных точек дает полуокружность (при у’1 = 1) и связную компоненту сферы (окружности), проходящую через точку (жд = 1, Ж1 = 0), при 21 = 1-,1. Внутренняя координата ш* на окружности преобразуется по правилу -фш* = 21-ш. Подставляя в (1.9) и сокращая обе части на уь получаем формулу для переносов на прямой / ад — а 1 , ■ 7-. щ = ——----1 а = —-ЬгёЛ^е К, (1-18) 1 +лада которые образуют группу Сф(фф — группу движений эллиптической прямой 81(1) при 21 = 1, параболической прямой 81 фф при 21 = р, гиперболической прямой 81 (ф при 21 = 1В пространстве дифференцируемых функций на Н-гффф генератор Х(х) представления группы ЗО(2;21) определяется формулой (1.12), в которой все величины берутся без звездочек. При преобразовании (1.16) производная й/фо* переходит в уффй/^<^9^), поэтому для получения производной генератор X* следует умножить на уф, т.е. генераторы Х*<рх) и Х(ж) связаны преобразованием У'°-;у'ужу'° Дж Д- (1.19) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=