64 Гл. 3. Представления в базисе Гельфанда-Цетлина ТП12 П222 \ тп / (3.29) совпадающей с (3.2), (3.3), за исключением знака минус под корнем. Условие унитарности (3.4) сводится к вещественности корня в выражениях для генераторов Ао1,Аю, что возможно при отрицательных значениях одного из сомножителей. В резулвтате имеем еще два неприводимых представления: В) тп > тц +1; Г) тп < Й222 — ', называемых дискретными сериями. Дискретные серии неприводимых представлений псевдоунитарных алгебр и(р, д) описаны в работах [13, 14]. Случаи В) и Г) соответствуют модифицированным схемам вида Й12 ^22 тп Мы подробно рассмотрели простейший случай алгебр ы(2;}1), чтобы показатв, как работает метод переходов для неприводимых представлений. Формулы раздела 3.1.2 при дополнительных условиях на компоненты верхней строки схемы Гельфанда-Цетлина вида (3.17), в случае контракции, и (3.23), в случае аналитического продолжения, дают неприводимые представления алгебр ы(2;}1). Что!бп получитв унитарное представление, необходимо дополнителвно проверятв выполнение соотношений унитарности (3.4) для контрактированных или аналитически продолженных генераторов представления. 3.2. Представления унитарных алгебр м(3; ,7’1, ]г) 3.2.1. Описание представлений. Стандартные обозначения Гелв- фанда-Цетлина отвечают убывающей цепочке подалгебр ы(3) э ы(2) э Э ы(1), где ы(3) = {Ерг, к,г = 1,2, 3}, ы(2) = {Ерг, к,г = 1,2}, ы(1) = = {-Ец}. Чтобы согласоватв с нашими обозначениями раздела 1.2, заменим индекс к на индекс п — к = 3 — к, т. е. Ерг = А„_/,.При этом цепочка подалгебр принимает вид ы(3; ф, ц) Г) ы(2; ц) Г) ы(1), где и(3;у) = {Ац, 8,р = 0,1,2}, и(2;}2) = {Авр, з,р = 12}, и(1) = {А22}. Нумерацию компонент схем Гельфанда-Цетлина оставляем неизменной. Хорошо известно, что для определения представлений алгебры ы(3) достаточно задатв действие генераторов Ерр, ЕРр_\, Ер_\,р, т.е. генераторов Арр, к = 0,1,2, Ар+[,р, Арур+1, к = 0,1. Оставшиеся генераторы А02, Аго находятся с помощвю коммутаторов Аог = [Аоь А12], А20 = = [А21Аю]. При переходе от и(3)ки(3;)) генераторы преобразуются по формулам: А01 = фМ^н), Ац2 = д2А*2(-+), лю = фА^н —>), А21 = д2А21(--'), Арр = А^(—>). Преобразование компонент схем Гельфанда-Цетлина определим следующим образом: «Из = Ф1У2пг}3. т23 = т23, тзз = ЩтЗз, т\2=д2т*2, т22=д2т22, «!!=»}'> (3.30) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=