3.1. Представления алгебр ик-;у-) и ки{2; Д) 63 Аоо|пг) = (з — тщ)|т), АЦтп) = тц|л) (3.24) и операторов Казимира Соотношение (3.4) для операторов Ао1,Аю, вытекающее из условия эрмитовости, запишем в виде а- — Ь(Ь+ 1) + (| - т^п) ( - тп + 0 + га- + 1) = а- — Ь(Ь + 1) + ^| - тп^ " 1 - тп 1 + 1) - га- + 1). (3.25) Для ввшолнения (3.25) при любых 8,тц нужно, чтобы мнимая частв под корнем обращаласв в нолв, а вещественная частв была положи- телвной, что возможно в двух случаях: А) Ь = —1/2, а ф 0; Б) а = О, -Ь(Ь + 1) > 0. В случае А) формулы (3.24) перепишем Ай |т) = ^а2 + (тп у |пгпТ1), С1С0 = 5, С2(0 = 2«2 + 1(1 - 52), (3.26) а это еств неприводимое представление основной непрервшной серии ы(1, 1) [13]. Компоненты т? = — 1/2 + г, 77722 = 1/2 + г работы [13] связаны с нашими компонентами 77712, 77-22 соотношениями Ш12 = етщ, т22 = гт22, т. е. Ке(г) = з/2, 1т(г) = —а. В случае Б) формулы (3.24)) имеют вид А/И = Ь'ТФ (711() = 5, (72(0) = —2 (ь(Ь + 1) + (3.27) а это еств неприводимое представление дополнителвной непрерывной серии [180]. Помимо случаев А) и Б), еств еще одна возможноств. Пуств компоненты 77712, 77722 ЯВЛЯЮТСЯ ЧИСТО МНИМЫМИ: Ш|2 = 777712, 77722 = 777022, где —И2, 77022 — целые числа. Тогда формулы (3.24) перепишем в форме ДооМ = (тТ012 + 77022 - тп)|т), Ац|т) = Ш•||/171-, А(11М = л/-°012 " 7711 + 1)(т7^11 - 7Л22) |т7^11 " С. А1о|777) = \/(-(О112 - 777П)(77гп + 1 " 77722) + 1), С1000 = 77712 + 77022, С/00) = "-(7722 + Т7!2 + 77712 " 7Т722), (3.28) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=