62 Гл. 3. Представления в базисе Гельфанда-Цетлина Они независимы и отличны от нуля. Как и в случае исходной алгебры „(2), неприводимое представление контрактированной алгебры и(2;зф полноствю определяется верхней строкой схемы, т. е. параметрами к Уе Д 0, 8 Е Ж Резулвтаты (3.18), (3.19) совпадают с соответствующими формулами работы [127] для случая неоднородной 177(1). Условию определенности спектра оператора 6Г(зф отвечает не только преобразование (3.7) компонент схем Гельфанда-Цетлина, но и, например, преобразование т 1 2 = Дзп*2, т22 = 37ф2, ти = тД. При этом генератор Аоо|ззз >= (т\+ т22 — тц)|т) определен лишв при ти = гр р е Ж но тогда С\(зф = р + т® ф О, а Сфзф = ф^гфп22 - — 1) + т22/з2 + т\2/г] = + З1Ш12 = (зрр)2 + г^лР) =0, т. е. в этом случае неприводимое представление алгебры „(2) контрактируется в вырожденное представление алгебры и(2; зф, у которого Сфзф — 0, а 62(31) = 0. Можно вообще не преобразовыватв компоненты тр. = т*кг, тогда при контракции также получим вырожденное представление алгебры и(2; зф, у которого 61 (зф = т12 + ГП22 ф 0 и 6^2(31) = 0. Это представление задается генераторами Аоо.Лц вида (3.2), а генераторы А01Ы = 0, Аю|т) = 0. Мы выбрали преобразование (3.7), которое дает при контракции невырожденное представление алгебры и(2;зф с ненулевым спектром всех операторов Казимира. В далвнейшем, при изучении алгебр высших размерностей, будем рассматриватв именно такой общий случай. Если положить Д = 31 в формулах (3.15), то получим бесконечномерное представление контрактированной алгебры 8„(2;зф реализуемое операторами Л±\1,т) = 1\1,т± 1), ЖД т) = т\1, т), 1УеО, те! (3.22) с коммутационными соотношениями [Ж, ф±] = ±Ж±, [Ж, 7_] = 0 и оператором Казимира 62(31) = -?. 3.1.4. Аналитическое продолжение неприводимых представлений. Как отмечалось в разделе 3.1.3, формулы преобразования алгебраических величин, полученные из условия отсутствия неопределенных выражений при нильпотентных значениях контракционных параметров, справедливы и при мнимых значениях параметров. Для алгебры и(2;Д = ф = „(1, 1) это означает, что („П12 + т,22)Ц = 8. Условие унитарности для Аоо дает з Е Ж т. е. компоненты и т-22, вообще говоря, равны «312 = а + г (ъ + 0 > „322 = — а — г (ь — 0 > а’Ь 8 Е Ж (3-23) Подставляя (3.23) в (3.8), (3.10), получаем для генераторов А.01 |т) = 10 а2 - Ь(Ь+ 1) + - 7Пц^ (| - 7311 т ± 1)1 + М2Ь + 1) |тцр!), Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=