3.1. Представления алгебр и(2; +) и ви(2; щ) 61 которые удовлетворяют коммутационным соотношениям (3.15) (3.16) Оператор Казимира на неприводимом представлении пропорционален единичному оператору С2З1) = 1(1 + 31). 3.1.3. Контракция неприводимых представлений. При у’1 = /<1 оператор Аоо содержит слагаемое (77112 + «222)/и, которое определено толвко тогда, когда числители пропорционален ц, то есть таю + ГП22 = 718, где 8 е Ж С. Требование унитарности для оператора Аоо дает 8 6 В. Таким образом, для того чтобы операторы (3.8) задавали представление алгебры ы(2; /д), необходимо выбрать компоненты 77112,77122 схемы (3.11) в виде т12 = Л; + 71|, т22 = -^ + 71|, 8бВ, (3.17) где к, вообще говоря, комплексное число. Схема (базисный вектор) (3.11) при нильпотентных значениях компонент определяется разложением в ряд к П7Ц (3.18) аналогично для |т7^)2,- Исходные схемы (3.1) нормированы на единицу (т7'*|т7г*) = <5то«.то*/то'2*.т„2*2/то;*.то* • Схемы (3.11) при непрерывных значениях компонент нормированы на дельта-функцию. В частности, для |тп > имеем нормировку на квадрат дельта-функции (т’\т) = 5‘1(к’ - ф^.я01 (3.19) Подставляя (3.17), (3.18) в формулы раздела 3.1.2 и приравнивая комплексные части, получаем операторы представления алгебры ы(2;г1) ~ ~ ~ ~ Аоо|т77) = (в - 7771 1) |тп), Ац|тп) = тц|тп), Ао1|777) = &|т7711 — 1), Аю|т) = Й|т77п + 1). (3.20) Условие унитарности (3.4) для операторов Аоь Ащ дает к = к, т. е. к — вещественное число, неравенство 77712 + т22 дает для вещественных частей к + 0, компонента 77ц целочисленная и изменяется в пределах —сю < 77ц < сю. Собственные значения операторов Казимира (3.9) на неприводимом представлении алгебры ц((^;/1) находятся по формулам (3.10) и равны 671(71) = 8, 02(71) = 2й2. (3.21) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=