60 Гл. 3. Представления в базисе Гельфанда-Цетлина Тогда генераторы представления (3.2) с учетом (3.6) запишем в виде л I \ (тгп + Т22 \ I \ л I \ I \ Аоо|т) = ---------тп} |тф, Ац|тг) = тгц|тг), Л)1|т) = \/(т2 -7ИИ1 + + Х+1тгц - тгг) |тц - 1), АюЫ = у/(то12 -11ГЦ1)(11ГЦ1 + + -иц) |ттц + °, (3.8) а спектр операторов Казимира 6* (о’ф = А) + >111, С2°’1) = Д01О10 + >Мю>и1 + Л(Л00 + Лп) будет равен С*10'0 = -Г-(Т112 + Шщ), С2°1) = т?2 ■ Т/12, Г-^1 ((7(12 - (Г(22)> где через |тт() обозначена схема вида |И= ”12 ”22 1 ' 7711 Неравенства (3.1) для компонент формалвно имеют вид 77712 77222 77122 7122 — >тц> — — Т _. + + 1 + 1 +1 (3.9) (3.10) (3.11) (3.12) Чтобы выяснитв смысл этих неравенств при у' 1, рассмотрим действия повышающего оператора Аю на вектор «старшего веса» гд, описываемый схемой при тпц = 7112, и понижающего оператора А01 на вектор «младшего веса» г/, описываемый схемой (3.11) при тц = 7122- Имеем __________________________ А10+» = А/т12(1 - Ф1)С7’1ЭТ712 + 11 - 77722) + ФАцОТ/ = у/(ТО12 -7Р7222 З^11))!^0?1 ~ 1) |т122 ~ 1)- (3.13) Отсюда видно, что при у' = 2 1 , 2 эти выражения отличны от нуля. Следователвно, пространство представления бесконечномерно и целочисленная компонента тц, нумерующая базисные векторы, изменяется в пределах от —сю до сю. Итак, формалвные неравенства (3.12) при у' = = Гц г интерпретируются как неравенства сю > тц > —сю и спц + 7122Вид (3.7) преобразования компонент схем Гелвфанда-Цетлина выбран так, чтобы оператор Казимира второго порядка был отличен от нуля и не содержал неопределенных выражений при нилвпотентном значении параметра у. При переходе от з-^(2) к алгебре зи(2;уф генераторы и компоненты схем Гелвфанда-Цетлина преобразуются по правилу 3± = + Л Н), -Ц = 73(Н>> I = пГ, т = т*. (3.14) В резулвтате получаем генератор! <±|1!, т) = а±(тт^)|/, т ± 1), Фз\1, т) = тг|,, и), Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=