3.1. Представления алгебр и(2;^1) и зи{2; Д) 59 операторов Казимира для классических групп был найден в работах [61, 62], а для полупростых групп — в работе [53] и для ы(2) равен 6? = т*2 + т22’ СС2 = т*2 + т22 + т*2 — то22- (3-3) Напомним, что звездочками мы отмечаем величины, относящиеся к классическим группам (алгебрам), и(2) в данном случае. В пространстве представления имеется вектор старшего веса гр, описываемый схемой (3.1) при т * [ = т*2> при действии на который повышающий оператор А*о дает ноль: А*Дгд = 0, а понижающий оператор А; уменвшает значение т**п = т*2 на единицу: Ао1^ = \/т*2 — т**22 |ттг*2 — 1)1 Последователвно применяя А; к гд, приходим к вектору младшего веса г/, который описывается схемой (3.1) при т*[ = т*22- При действии на г/ понижающий оператор дает нолв: А;г/ = 0. Неприводимое представление конечномерно, и этот факт отражен в неравенствах (3.1), которым удовлетворяет компонента т*) схемы, нумерующая базисные векторы в пространстве представления. Условие унитарности представлений алгебры ы(2) эквивалентно следующим соотношениям для операторов (3.2): А*кк = Арр, к = 0,1, Ад[ = Аю, где черта обозначает комплексное сопряжение. Для матричных элементов условие унитарности запишем в виде (т*|АА;|т**) = (т*|А);|тг*), к = 0, 1, (т*|А*1|т*) = (т*|А*1|т*), (т*1 - 1рА11то*) = (т^*|А*0|’т; - 1). (3.4) Представления алгебры 8ы(2) получаются из представлений и(2) при т*2 = Г, = —I*, т**{ = т*, |тг*| Д Г и задаются операторами Д* = А*{, ]*_ = —=А%1, ДД = -;^А*о с коммутационными соотношениями 2 [7*,Д] = ±Д, [Г+,Г__] = Г3 (3.5) Собственные значения оператора Казимира С* обращаются в нолв, а у оператора второго порядка равны С3 = Г(Г + 1). 3.1.2. Переход к представлениям алгебр и(2;Д) и ви(2;Д). При переходе от алгебры и(2) к алгебре ы(2;Д) генераторы А^.А; и оператор Казимира С* не меняются, а генераторы АдрА’д и оператор Казимира С3 преобразуются следующим образом: А^Д^нХ Аю = ДА*д(—Д СГ2С^^0=^лС1*(^п^), (3.6) где АД[(-Д, А*о(->) — сингулярно преобразованные (при нилвпотент- ном значении параметра Д = и) генератор! исходной алгебры ы(2). Веев вопрос теперв состоит в том, как задатв это преобразование для неприводимого представления (3.2) алгебры ы(2). Определим преобразование компонент схемы (3.1) следующим образом: т12=Дт*2. 7712= Дпг22> " = то*1- (3.7) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=