Глава 3 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР КЭЛИ-КЛЕЙНА В БАЗИСЕ ГЕЛЬФАНДА-ЦЕТЛИНА В этой главе изучаются контракции неприводимых представлений унитарных и ортогоналвных алгебр в базисе Гельфанда-Цетлина, который особенно удобен для приложений в квантовой физике. Особое внимание уделяется контракциям общего вида, приводящим к представлениям с отличным от нуля спектром всех операторов Казимира. Метод переходов обеспечивает построение неприводимых представлений полупрямой суммы алгебр исходя из хорошо известных неприводимых представлений классических алгебр. Если контрактированные по разным параметрам изоморфны, то получаются неприводимые представления в разных (дискретном и непрерывном) базисах. 3.1. Представления унитарных алгебр т(2;у) и «п(2; 31) 3.1.1. Конечномерные неприводимые представления алгебр и(2) и 5и(2). Указанные представления описаны Гелвфандом и Цет- линым [17]. Они реализуются в пространстве с ортонормированным базисом, задаваемым схемой с целочисленными компонентами вида т*2 «г*1 (3.1) операторами 7?*1|т*) = т^т*) = А*1|тг*), -Е^то*) = ("1*2 + т22 - тц)|т*) = А0|тг*), (3.2) . (т^*2 - то11 + 'Х”* - т22) 1то1' “ 0 = Л0'Ы> Е*2|т^*) = . (т*2 - т^Хт*1 + 1 - «ТУ 1т11 + 1) = А*о1т)> где |пг*1 ± ') обозначает схему (3.1), в которой компонента т* . заменена на пг*) ± '. Стандартные обозначения генераторов Е^г заменим на новые обозначения А„_й,„_,,, п = 2, согласованные с обозначениями раздела 1.2. Неприводимое представление полноствю определяется компонентами т*2,т22>т*|2 т22 верхней строки в (3.1) (компонентами старшего веса). Операторы Казимира, как известно, пропорциональны единичным операторам на пространстве неприводимого представления. Спектр Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=