2.3. Нерелятивистские кинематики 57 Операторы Казимира алгебр 8о(5;)1, ^) даются формулой (1.49), если положить в ней уФ = г-2, фз = 2а = 1, п = 4, тогда СШ) = р2 + ф?к2, с4(фЮ = (Р х К)2. (2.32) Оператор СгДуД) имеет смысл кинетической энергии частицы с нулевой массой, а оператор С4ДД1) равен квадрату момента импульса этой частицы. При центральном расширении имеем три оператора Казимира С1=т1, С2=Н2 - +^К)< с4 = ( --СКх-РУ)2, (2.33) где С\ есть оператор массы частицы, С2 — оператор внутренней энергии частицы, а оператор Сф равный квадрату разности между полным моментом частицы и ее моментом импульса, есть квадрат внутреннего момента (спина) частицы, т. е. в групповом подходе совершенно естественно возникает понятие спина у классической частицы, причем как в кинематике Галилея, так и в кинематиках Ньютона. Определение 2.3.1. Проективное унитарное представление У группы С задается формулой О(д)О(^91) = 0(991) ехр{г/(д,д1)}, д,дхеО, (2.34) где вещественная непрерывная функция (д,д1) называется мультипликатором, обладает свойством /(1,р) = /(д, 1) = 0 и удовлетворяет условию, вытекающему из тождества Якоби /(д, 91) + (991 > 92) = (д, 9192) + Ж,92)- (2.35) Если каждый оператор представления О(д) умножить на непрерывную функцию ехр{гг?(р)}, то новое проективное представление операторами О'(д) = О(д) ехр{гг?(р)} будет иметь мультипликатор /(9<91) = (9>91) + Од) + у(^91) - у(991). (2.36) В работе [134] показано, что группы 800(5) имеют проективные представления с мулвтипликатором /'(9>91) = «г[(и2 - - (г,и)):^1п2дп - — (^ Кг)1 з1пу1й1 + (и Лгф соауй] > (2.37) где д,Э1 & 80(Ь',д\,12) записаны в виде разложения (2.25). Метод, предложенный в работе [111], приводит к мультипликатору /(д,д\) = тг[(г, Лгфд зтдй + (г, Лиф созуДй- — (и Лгф созу'1! + (и Лифуф1 81т у'11й]/2. (2.38) Мультипликаторы (2.37) и (2.38) связаны соотношением (2.36) с функцией у(д) = т(г, и). При д = ц выражение (2.37) совпадает с мультипликатором группы Галилея работы [211]. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=