56 Гл. 2. Модели пространства-времени Т!Т" = тгтит1, =и^иотзуД, (2.27) что позволяет получить закон умножения в группе 80(5; 3'1,12) (I, г, и, 7?) • (й, Г1, иь 7?1) = (I + П, г', и', КК,), г' = Дг; + г соау'Д + и/Д ат]\1, и = Дщ + исозу'Д — гД зшДС (2.28) Обратный элемент (I- г, и, Дг1 = (—г", и", Л '), г" = — Д-1 (г соау’Д — иД-1 ашу’Д), и" = —К~1(исо8 211 + гД зту’Д). (2.29) Числовые значения генераторов в некотором состоянии преобразуются по присоединенному представлению. Для разложения (2.25) это преобразование имеет вид к' = к — (и, Др) + Д!(г, Д1), р' = ДрсозуД + ДкД зшДС к' = Дксоз 1,1 — Др— 81п 1,1, 1' = Д1 + ихДк. (2.30) Л Здесь к есть энергия, р — импульс, 1 — момент импульса свободной частицы с нулевой массой в нерелятивистских кинематиках, а вектор к пропорционален ее положению. Среди кинематических групп только группы 8О(5;]}1,12) имеют проективные представления. Последние характеризуются одним числом т Е Ж Соответственно алгебры 8<о(5;Дг2) допускают нетривиальное центральное расширение, которое получается добавлением к десяти генераторам единичного генератора I и заменой в (2.3) при У2 = 12 коммутатора [Д, К] = 0 на коммутатор [Д, К] = т1. Матрица присоединенного представления центрального расширения получается из (2.26) добавлением последнего нулевого столбца и последней строки вида (0, — тй, тг, 0, 0). Учитывая, что числовое значение единичного генератора равно константе, которую можно считать равной единице, получаем вместо (2.30) формулы преобразования энергии, импульса, момента импульса и положения свободной частицы массы т к = к- (и, Др) +у1(г,Дк) + — + 3\—, р' = (Др — ти) созрЛ + (Дк + пгг)Д зтД I, к' = (Дк + тг^) соау'Д — (Др — пги.-^- зту’Д 1' = Д1 + и х Дк + г х Др. (2.31) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=