66 Гл. 3. Представления в базисе Гельфанда-Цетлина АгоИ = -(72113 - 711П12)((233 - 71»П22 - 2)1'2)((2Пг23 - 72 - тиг) (т22 - т1-}2) х 0^22 - >2Т^П - 72( |1//2 (222 - ПЦ - 27ф / ГП12 + 72 Мп + 1 ~(т!з + И>)(2333 - У1ГП22 - 7'17'2(0'2223 - т®) (тм - т22 + 72) X (тГ312 - 722111) ) 1/2 (т12-Т22( / ГП22 + 72 тп + 1 (3.32) где |пг12 ± 7'2) обозначает схему (3.31), в которой компонента 77112 заменена на 77712 ±7'2, и т.д. Генераторы Ап, А22, ^412, А21, образующие подалгебру 772у2), описываются формулами (3.8), в которых нужно увеличите каждый индекс у генератора на единицу и заменить параметр 71 на 7'2. Генераторы (3.32) удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры м73;7) вида (к, г)(г, о) (к, я) (к, г)(г, ф) {р, г) (3.33) Унитарная алгебра ы(3) имеет три оператора Казимира, которые при переходе к алгебре ы(3;у) преобразуются согласно (1.98) СШ) = СГ(Н), С2(7)=7 77722С2*Н), С'з(7)=7у7222С'*(Ю- (3.34) При этом спектр операторов Казимира равен /-Ч С 77713 + 77733 . С1 (7) = ----- -----------+ 77123, 7172 С2(д) = т^?3 + 7713 + у^т3 + 27172(?7713 - 7П^(, (3.35) СзОФ = Т1 .+ + 2(2т23 - т23) - шщщ. + 7172 +д1дд^Кт23 + 2т2 - 2Т772з) А1^22^^ - 77733( - //Г,,!//11, + 7П33]. Естественно возникает вопрос: из каких соображений выбирается закон преобразования (3.30) компонент схем Гельфанда-Цетлина или закон (3.7) в случае алгебр ы(2;уф? Он выбирается так, чтобы спектр операторов Казимира 2-го порядка был отличен от нуля и не содержал неопределенных выражений при нильпотентных значениях параметров у. Поскольку 02(7) = >) и компоненты 77713, 77723 , 77733 входят в Оф квадратичным образом, это условие дает (3.30). Однако вариант (3.30) (назовем его базовым) не единствен. Возможны еще два варианта: 77113 = «7*3, 77!23 = 7172732з, тзз = 7'17'277733 или 77713 = 7172777*3, 77723 = 7172?то23> 227зз = 77733, которые переводят исходное неприводимое представление алгебры ы(3) в представление алгебры Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=