76 Гл. 3. Представления в базисе Гельфанда-Цетлина ----------------------------------------------------- [фк Гк^^рк Гк 1) \/2 х (С.&+1 ~ ■к+11ае)(1к+1,к+1 ~ Гк+Фзк) х (Гк ГкГкЦЦк ЗкЦк <к) Выражение для а^(т) получается из ак(т) заменой Ц. на Цр и Цр на Цр. Такой же заменой из Ьк(т) получаем Ьк(т). Компоненты т связаны с I соотношениями к\к — 'НГЩ Гкк — 'Г1кк кГк* кзк — т$к Г 1 Ю .9 Ю (3-61) Непосредственной проверкой убеждаемся, что операторы (3.59) удовлетворяют коммутационным соотношениям (3.33), следователвно они задают представление алг^е^С^]^1ы ы(п;у). Рассматривая действие повышающих операторов Ап-рп-р-1 на вектор «старшего веса» гр, описываемый схемой |т) при максималвных значениях компонент, и действие понижающих операторов Ап_р_-рп_р на вектор «младшего веса» г/, описываемый схемой |т) при минималвных значениях компонент, как и в разделе 3.2.1, устанавливаем, что при нилвпотентных или мнимых значениях всех или некоторых параметров ] пространство представления бесконечномерно и в нем нет инвариантных относителвно операторов (3.59) подпространств, посколвку, взяв произволвный базисный вектор и подействовав на него операторами Ар. нужное число раз, получаем все базисные векторы в пространстве представления. Следователвно, представление (3.59) неприводимо. Хотя исходное представление алгебры ы(п) эрмитово, неприводимое представление (3.59) алгебры ифпрф), вообще говоря, эрмитовым не является. Поэтому, чтобы представление (3.59) было эрмитовым, необходимо потребоватв выполнения соотношений = Арр, р = 0, 1,... ... ,п — к, А.р = А^, которые для матричных элементов операторов записываются в виде (т|АдР|т) = (т|АдР|т), (п|Айр|т) = (т|Арй|п), (3.62) где черта обозначает комплексное сопряжение. 3.3.2. Спектр операторов Казимира. Компоненты ткп верхней строки схемы (3.57) (компоненты старшего веса) полноствю определяют неприводимое представление алгебры ы(п). В работах [53, 61] собственные значения операторов Казимира выражены через компоКоми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=