3.3. Представления унитарных алгебр и(п;э) 77 ненты старшего веса. Для унитарной алгебры и[п) спектр операторов Казимира описывается формулой Щт** = ТТ(а**Е\ (3.63) где Е — матрица размерности п, все элементы которой равны единице, а матрица а* имеет вид ара = (т*п+п-')6р8-'Шар, з,р = 1,2,... ,п. (3.64) Здесв Шар = 1 при з < р и ио$р = 0 при з > р. При переходе от алгебры ы(п) к алгебре и(п'у),у = (Д,.. •фп-1) компоненты старшего веса преобразуются согласно (3.58): т\п = = ^т\п’ тпп = ■}тпп’ т8П = твп’ 3 = 2> 3>... ,п — 1, ■ = П= 1 31- Определим матрицу а(у) формулой «0) = 7а*(н), (3.65) где а*(—>) еств матрица (3.64), в которой компоненты трп замененв1 выражениями через трП, т.е. ац(—>) = п— 1 + т1п.}~1, ОппЕ-) = = тпп,1~! а осталвные матричные элементв1 даются формулой (3.64). Тогда матрица а(у) такова: апО’) = ть + Д(п1), а„„ф) = тг„„, (3.66) арв(д) = А[(трП + п - р)6р$ - Шер], р,з = 2,3,....п-2. Операторы Казимира преобразуются согласно (1.98), т.е. С^Д.)) = = ^'2А:С'2А.(->), 0228+1 О') = (2/еО^2^д.+1(—>). Точно так же преобразуются их спектры. Поэтому спектр операторов Казимира алгебры ы(п;у) выражается формулами С2к[т') = .2кЪ{а*2к(---Е} = Тг{[Да*( —>]2кЕ} = Ъ{а2к -Е}, СЫ^т) = ЕкЪ{а*2к'\ -Е} = Ъ{^^'*(-[а^^-[--]2кЕ} = = Ъ{а*^а2к-Е^} = -ъа^+ЕЕЕ}, (3.67) где 2к и 2к + 1 пробегают значения от 1 до п. В частности, п — 1 г, ( \ Ш1„ + тпп , V О11(п) = ——-------ь 2^то«п’ 3=2 °2(т) = т2п + т2пп + Еп- 1)т1-п^г^п)+ п— 1 +Л2 (^Шв^пгвп + п + 1 - 2з) (3.68) з=2 еств собственные значения первых двух операторов Казимира алгебры и[п',у) на ее неприводимых представлениях. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=