78 Гл. 3. Представления в базисе Гельфанда-Цетлина 3.3.3. Возможные варианты контракций неприводимых представлений. Для краткости в этом разделе будем говорить о контракциях неприводимых представлений, имея, однако, в виду, что соответствующие рассуждения справедливы и при мнимых значениях параметров у. Преобразование (3.58) компонент схемы Гельфанда-Цетлина выбрано так, чтобы собственные значения операторов Казимира четного порядка были отличны от нуля при контракциях. Однако базовый вариант (3.58) не единственный. Как легко видеть из (3.67), (3.68), той же цели можно достигнуть, преобразовав по правилу т = Фт* любые две компоненты верхней строки и оставив неизменными остальные компоненты этой строки. Что произойдет в этом случае с исходным неприводимым представлением, скажем, при контракции по первому параметру Д = ц, р = = ... = фп_1 = 1? Закон преобразования генераторов не изменится Д = (Пй№)М(2-), модифицируются лишь выражения Д*(—>) для сингулярно преобразованных операторов представления, а также неравенства для компонент схемы Гельфанда-Цетлина по сравнению с той же контракцией Д =ц в базовом варианте. Собственные значения операторов Казимира будут зависеть не от компонент т]п,тпп, как в базовом варианте, а от другой пары компонент верхней строки. Таким образом, каждый из (") = п(п — 1)/2 вариантов перехода от неприводимого представления алгебры и(п) дает при контракциях свое представление алгебры ы(п;у), спектр операторов Казимира которого задается своей парой компонент верхней строки схемы Гельфанда-Цетлина. Причем все варианты переходов являются переходами общего вида, т.е. приводят к отличному от нуля спектру всех операторов Казимира даже в том случае, когда все параметры ] принимают нильпотентные значения. Приведенные рассуждения справедливы, естественно, для каждой подалгебры и(к;]'), к = 2, 3..., п — 1 в цепочке подалгебр, приведенной в начале раздела 3.3.1, т.е. для каждой подалгебры имеется (2) = ^(^ — 1)/2 вариантов перехода от неприводимого представления подалгебры и(к) к неприводимым представлениям общего вида подалгебры и(к;дг). Последние определяют базис Гельфанда-Цетлина. Следовательно, каждый из (") вариантов перехода от неприводимого представления алгебры гДп;У) может быть записан в !\Тп_1 = =2 (2) различных базисах, отвечающих различным вариантам преобразования компонент схемы Гельфанда-Цетлина в строках с номерами к = 2, 3..., п — 1. В разделах 3.3.1 и 3.3.2 описан базовый вариант, в котором преобразуются первая и последняя компоненты строк с номерами к = 2 3... ,п. Ясно, что при необходимости подобные формулы можно выписать в любом из Л’’/, = Х(==2 (2) вариантов. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=