3.4. Представления ортогональных алгебр 79 3.4. Представления ортогональных алгебр 3.4.1. Алгебра ао(3;ф). Хотя алгебра ао(3) изоморфна алгебре 8ы(2), рассмотрим ее отдельно, поскольку алгебры зо(3;ф), ф = (фьуф) допускают, в отличие от зы(2;ф1), контракцию по двум параметрам. При переходе от зо(3) к зо(3;ф) генераторы преобразуются следующим образом: Х01 = ф^(->), Х02 = ф^фХ^Н), Х12 = ф2Х*2(^), а единственный оператор Казимира преобразуется так: €2(3) = 3-32^2(4-). Неприводимые представления алгебры зо(3) установлены в работе [17] и в базисе, определяемом цепочкой подалгебр зо(3) э во(2), задаются операторами Х*2|т0) = гт*!!??!*), °0011Т°о) = ■ { ■1 ■ ■ - ■ 1 1 11 ■ ■ + 1 1 1 + 1)1т*1 + 0~ -\/(то*2 + т11)(т*2~т*1 + 1) |т-*1 — 1)} > *о2|™*> = | {у/(”°02 — И1)(то2 + т*1 + 1 т?1 + 1)1 + \/(”г02 + »'*•)'(’"-*-'"0' + О (то*1 - О} > (3-69) где схемы |т-*), нумерующие элементы ортонормированного базиса Гельфанда-Цетлина, имеют вид |тО) = ■ тоф ), |пгФ| ■ тТ и компо— ненты т*[, т*2 являются одновременно все целыми или полуцелыми. Спектр оператора Казимира равен (72 (т*2) = тгТ2Ст^*2 + 1). (3.70) Компонента ■* ■ является собственным значением оператора Х‘3, поэтому вид ее преобразования определяется преобразованием оператора Х*2, т.е. тп = ф2пг*1 — Вид преобразования компоненты т*2 находим из условия определенности и неравенства нулю спектра оператора Казимира при контракциях б^тю) =ф'2)’2Сф(-ю) = = ф?ф227172 + 11 - + X 7172 1—7172 —I (3.71) т.е. компонента т*2 преобразуется так: т\2 = ф'да-г— После этого из (3.69) находим операторы представления алгебры «о(3; ф): Х'12|пг) = гтц|т), „Иг -ф1тц)(т12 + 3-тц + 3-З2) |тц + -(гп12 + фт1ц(п112 -фтц + 3-32) |тц Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=