80 Гл. 3. Представления в базисе Гельфанда-Цетлина Афш = | -^рпц)(т12 + Дтп + 7'17'2) |тц + 7'2)+ + \/ («Г12 + 711П11)("112 -71«гц + 717'2) |Т11 - (3.72) где компоненты схемы |т) удовлетворяют неравенствам |тц| + тж/Д- То, что это представление, т.е. операторы (3.72) удовлетворяют коммутационным соотношениям алг^е^С^]^1ы зо(3;д), проверяется непосредственно. То, что это представление неприводимо, устанавливается, как и в случае унитарных алгебр, действием повышающими и понижающими операторами на векторы старшего и младшего веса. При 71 = ц формулы (3.72) дают представление неоднородной ал- гебрв! зо(3;м,72) = «>(2;72) = рЧи, Хо2}ф^{Хж} вида Хж|т) = Гтц|т), Ао1 ы = щгтцОтп + 7'2) - ^11 -22)), АщК^) = |т112(|тц + д2) + I’"" — 22))> (3.73) где тп — целое или полуцелое число, а т\2 Е Ж 77112 + 0. Собственные значения оператора Казимира равны ^(оЖ)) = При уФ = 12 получаем из (3.72) представление алг^е^С^]^1ы зо(3; 7'1,72) = = {Хо2, А,2}ф{Ао1} операторами тп Хж|т) = гтц|т), (3.74) где т1ьП712 € > и |ттп| + 77^12- Отказываясв от фиксирования нумерации координат жо,Ж1,а?2 в Нз(7), где действует группа 30(3;Д'), легко устанавливаем изоморфизм алгебр во(3;71, 1) и зо(2; 1,62)- Тогда (3.73) при 7’2 = 1 и (3.74) при 71 = 1 дают описание неприводимого представления неоднородной алгебры го(2) в дискретном и непрерывном базисах соответственно в бесконечномерном пространстве представления. Дискретный базис образуют собственные векторы компактного оператора Хц с целыми или полуцелыми собственными числами сю < 7771 1 < сю. Непрерывный базис образуют обобщенные собственные векторы некомпактного оператора Хж, собственные значения которого /П-1 1 € Ж |тл11 | т|2. Близкий подход к контракциям неприводимых представлений ортогоналвных алгебр зо(3), зо(5), связанный с сингулярными преобразованиями компонент схем Гельфанда-Цетлина, рассмотрен в работах [118-120]. Двумерная контракция 7, = ц, 32 = 12 дает неприводимое представление алгебры Галилея зо(3; 7) вида Хо1|т) = 77^12|7п')/11, Х12|т) = мпц|т), Ао)!?") = /тцМ, (3.75) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=