3.4. Представления ортогональных алгебр 81 где тд, 77111 € Ж 77712 Д 0, —оо < 771ц <со и С2Д) = Т7д. Результат действия генератора на производную |т)11 находится применением генератора к обеим частям равенства = (|7Пц + 12) — |тц — — 122)/2<2- В частности, имеем Ад^/Ц = гт 11 |77г)'п + г|т7^). 3.4.2. Алгебра 8о(4;;/). Чтобы задатв неприводимое представление алгебры 3 = (д,Д,Д), достаточно задатв представление генераторов А01, Ад, Ад. Мы исполвзуем формулы, приведенною в [1], заменяя индексы генераторов по правилу: 4 —7 О, 3 —7 1, 2 —7 2, 1 —> 3. Тогда представление Гельфанда-Цетлина отвечает цепочке подалгебр зо(4;}) э 8о(3;Д,д) Э зо(к;уз), где 8о(4;Д = {Ад, г < з, г,з = = 0, 12,3}, 8о(3;Д,Д) = {Агв, 7- < 8, 7, 8 = 12,3}, во(2;Д) = {А2з}. Представление генераторов Ад, Ад задается формулами (3.72), в которых нужно увеличите на единицу индексы генераторов и параметров д а также заменить схему |ттг) = | ) на схему \т) = ГП13 тцз 7771 1 (3.76) Вид преобразования компонент тпд.ттзц установлен при рассмотрении алгебры 8о(3;}') : 7Пц = ДтпЦ, 77712 = ЗкЗзткз’ |тп| Д тиЦк- Осталось найти вид преобразования компонент 777Д, тлгд, задающих неприводимое представление. Для этого рассмотрим спектр операторов Казимира алгебры 8о(4), установленный в работах [54, 62], 62* = т3з(т3з + 2) -1- 77723, 6% = -(777Д+ 1)™^ 03.77) а также закон преобразования операторов Казимира при переходе от 8о(4) к зо(4д) 62(Д = з№Д2№Н)> С& = З&ЗзС*^]. (3.78) Требуя, чтобы собственные значения операторов Ск(з) и С'2(д) были определенными выражениями при контракциях, из формул (3.77), (3.78) для Ск(з) получаем уравнение 7771377723 = 313233™**™^, (3.79) которое вместе с условием, чтобы преобразования компонент 77113, 77723 содержали только первые степени контракционных параметров д дает возможные законы преобразования этих компонент. Выпишем допустимые варианты преобразований неприводимых представлений алгебры 8о(4) в представления алгебры зо(4д), а также преобразованные спектры операторов Казимира: 3 • 77713 = Д 32771*3’ 77133 = ЗМзтД, Сз(з) = З3^7731з(77313 + 331Д) + Дм23> С2(3) = -(7313 +3132)ТП23. (3.80) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=