3.4. Представления ортогональных алгебр 91 5 — ‘'к'-2-1 + Лр,22-1)СГ1р1в_1/2] П (Д2а- — ,р,®-1/2 — ^р,2в-1) Г=р+1 Ч -1/2 1Рг,22-1Сг,р,,;-1/2 — (Д,2«_1 + Др,22—1) ] г , _ -г _ аг,р,з — 7 ®г,р,з — 7 , <р,2$ Сг,р,в = “7 > 1р,28 = тр,2в "Ъ р 1 (3_ Ю4) Л р,2$ Для алгебры зо(2к + 1) схема Гельфанда-Цетлина |т*) имеет вид (3.99) без строки с номером 2к + 1. Верхней строкой, определяющей компоненты старшего веса, теперь является строка с номером 2к, компоненты которой удовлетворяют неравенствам: т*2к т2 2к^ ■■■ ...^ т*к2к 0 0 • При переходе от классической зо(2к + 1) к алгебрам зо(2к + 1;Д, у = (Д ..,,у/г) компоненты схемы |т) преобразуются следующим образом: 2&+1— р тр,2в = тр,2вЛР,2> р2и = П Д 1=р-]2(Ь—з) 2&+1— р = тр,2в-1Лр2в-1 Др,2®-^1 = Д Д (3.105) 1=р-]2(к — з) + 1 з = 12,... ,к, р= 12,... ,з. Обратим внимание, что нижние пределы в произведениях, определяющих Д,^, Др^вЬ изменилисв по сравнению с (3.102). Это связано с уменвшением на единицу числа параметров ] в случае алгебры зо(2к + 1Д по сравнению с алгеброй зо(2й + 2;у). Компоненты верхней строки схемы |т) удовлетворяют неравенствам г»1,2& > т2,2к > 2> тк-\2к 2> тк,2к > д 4\2к 4ч 2к 4к-12к 4к.2к (3.106) а осталвные компоненты — неравенствам (3.103), в которых параметры ■}р22> 4р,2в-1 определяются согласно (3.105). Операторы неприводимого представления алгебры зо(2&+1;у) задаются формулами (3.104) с параметрами из (3.105). Тот факт, что операторы (3.104) удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры 8о(п;у), следует из того, что генераторы (3.104) мы получили из генераторов алгебры зо(п) преобразованием (1.30), а также может бытв проверен прямыми вычислениями. Неприводимость представления вытекает из рассмотрения действия повышающих и понижающих операторов на векторы старшего и младшего веса и неравенства нулю результата этого действия при нильпотентных и мнимых значениях параметров Д Хотя исходное представление алгебры зо(п) эрмитово, представление (3.104) таковым, вообще говоря, Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=