96 Гл. 4. Полуриманова геометрия Преобразования координат, сохраняющие это свойство, имеют вид о/ = ^\х\,.,,хт\ ^д'^т, X' = /((ж1,..., Ж"), т<Г,п. (4.2) ' Эха' Обозначим 1)^ = 0 , а,3 = 1,...,п, тогда из (4.2) получаем, что матрица преобразований имеет вид «') = ( (Р?) (рб) ) . + о, ае*(<) ± 0, (4.3) т.е. 1)^ = 0, а в обратных преобразованиях = 0. В базе Л4то расслоения задается невырожденная метрика д,. В слоях М,,т тоже задается невырожденная метрика . . При этом метрика в базе зависит толвко от координат базы, а метрика в слое — от всех координат из Л4„. Чтобы уравнятв расслоенную геометрию с (псевдо)римановой по числу компонент метрики, дополнителвно вводятся компоненты д, = д,, г < т < и, которою зависят от всех координат. Геометрически д, задают т-распределение = Эа1&ха, (4.4) ортогоналвное (трансверсалвное) к слою. Здесв и далее в этом параграфе по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. В резулвтате метрический флагтензор полуриманова пространства У^ принимает вид дар = ди, ди). Его можно записатв и в более привычной форме ы=( Щ) (Й ) • (4-5) Метрический флагтензор преобразуется при преобразовании координат (4.2),(4.3) по формулам 9(1'и' = + дц'Р^/'Л1,/, Рг'ю = ди^1®”> + дрк' = дгк'и>1ти>к^> (4-6) что отличается от преобразований компонент метрики в невырожденной (псевдо)римановой геометрии. Это отличие подчеркивается названием — флагтензор. По метрическому флагтензору дад строятся компоненты «флагаффинной связности» Г. = Г^з (символы Кристоффеля), согласующиеся с этой метрикой. Последнее означает, что для ковариантного дифференцирования V относителвно связности Пф, имеют место ",д., = О и ,дк = 0, но условие V. = 0 не налагается. Флагаффинная связности согласуется с расслоением, что приводит к двум результатам. Во-первых, Гфа = 0, 1,д,т<г,п, (4.7) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=