100 Гл. 4. Полуриманова геометрия В ортогональной системе координат дц. = —— , следовательно, ±2 = = -Р12> х3 = х4 = -д^. Поэтому Р12,5^1з,с^14 можно рассматривать как компоненты скорости частицы, движущейся в направлении х в ортогональной системе координат. Геометрически они представляют собой углы между осью времени I и пространственными компонентами вектора х (рис. 4.5). 4.3. Полуриманово пространство У^ с нильпотентными координатами В предыдущем параграфе полуриманова геометрия строилась для вещественных объектов как структура, согласованная с расслоением. Вместе с тем вырожденную геометрию можно реализовать с помощью нильпотентных объектов. В частности, расслоенное пространство можно получить из риманова пространства умножением координат слоя на нильпотентную единицу ь, Ф = 0. Такой подход позволяет показать, что переход от римановой геометрии к полуримановой связан с контракцией (предельным переходом) группы симметрии. Он оказался эффективным при изучении контракций ортогональных и других классических групп [28]. Получим V™ из риманова пространства У„ заменой части локально ортогональных координат жф г = т + 1..., п на При этом потребуем соблюдения следующих эвристических правил: 1. Делить на ь нельзя, т.е. для а Е Ж С выражение - определено только при а = О, 2. Однако ь можно сокращать, т.е. - = 1, 3. Кроме того, для а, Ь Е В. будем считать если а ф О, если а = 0. (4.14) Замена хг -4 ьхг индуцирует замену 4 цд^, т.е. метрический тензор содержит нильпотентные компоненты ьМ А (ун)) ) (4.15) Дх*' а условие его невырожденности йе^^да^) = (СеЦу,,,.,) ЛЛрд) ф 0 сводится к невырожденности метрики в базе «ШОрЛ — 0 и в слое Ф 0. ; ' дх*' Элементы I)? = —матрицы преобразований (4.3) заменяются пр' 1 Дх'' г ь Дхг I Дх'" п дх* т.е. ----- = 0, а элементы = —-г- заменяются Дхг Дх* Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=