4.3. Пространство V™ с нильпотентными координатами 101 на Поэтому преобразование дифференциалов координат запишем так: (<&') \ / (ОТ) о \ / (аР) А ла ) V соД (юд) к 2 2 2 (4.16) а преобразования координат принимают согласованный с расслоением вид (4.2),(4.3). Из общей формулы да>р> = для метрики (4.5) с помощвю матрицы (4.16) получаем преобразования (4.6) метрического тензора. Инварианты полуриманова пространства У™ находятся из инвариантов риманова пространства У„: 6,8 = фд^ЛсхХ' = у]др.ш6хр,6х1' + С (дцХхЛхК + 2д(_,кХх'-ХхК) = фд1,1_,<ЛхЫх1‘ = Дересли Зд Фжя ф 0 — длина в базе, (\/дггКх*6хК = Лат, если Уд Уж-" = 0 — длина в слое. (4.17) Дополняющий угол между вектором Дх = (Фжя, ЛхО общего положения и вектором Фх = (ОщФН) в слое находится из формулы для синуса угла ф дополнителвного до прямого между векторами Фх и Фх в римановом пространстве соа(^ — ф) = зшф = дар6ха8х^ |йх||<5х| (4.18) заменой хг — сх\ д^ — цддх ф — ьф. Посколвку |Фх| = рд^&х^дл11, |<)х| = сьфдц.8хг8хк , впи/ф = ьф (функции нилвпотентного аргумента определяются их разложением в ряд) и дадХха8х^ = ьдаЛха8хг = = Ыхг (дцхйхк+ = Гбх1 (д^бх^ + дц^Лхк), то из (4.18) имеем _ 1хх* фЫх*' + дгкЛхк) _ , (д^ик^бх* + дц,8хахк) у/ид1,8х^8х1' ЛдиФх^бхК у/кд^бх^бх1' фдц,8х*8хк что совпадает с (4.12) после сокращения на ь. Аналогично находятся инварианть1 (4.10), (4.11). Независимости геометрии в базе от геометрии в слое получается автоматически. Действительно, производные к 2 0Пределены лишь д ' 9х' при — = 0, т.е. диФх:',..., хт) не зависит от хт+х,..., ж”. <Эж* , Подобным образом псевдориманову геометрию кУт в базе можно получить из римановой Уто аналитическим продолжением локально ортогональных координат, заменив хг на гхг, г = К + 1... ,т. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=