5.3. Приводимость представлений алгебры Вирасоро 111 [7?п,7?то] — (1 т).Апп-тт1 2)^^+ 2^0^ + 2 ) ^п+то+1,о> [А„,ВТО] = (П-т-^Вп+т. (5-13) Первая строка уравнений означает, что подалгебра {А„,с} снова еств алгебра Вирасоро, но с централвнвш зарядом 2с. В случае 2^-гра- дуировки получается алгебра Вирасоро с централвнвш зарядом пс. 5.3. Приводимость представлений алгебры Вирасоро В этом параграфе напомним основном понятия и резулвтаты теории представлений алгебры Вирасоро [80]. Определение 5.3.1. Пуств М еств представление алгебры В(с) и существует вектор |г?) такой, что /о|с) = Л|г?), с|г?) = с|г?), ^||?) = 0, к > 0, (5.14) тогда |г?) называется старшим вектором представления. Пространство, натянутое на векторы ... /_^т|г?), где 1 1 1 .Уг ф гто > 0, образует представление старшего веса М(к, с). Все векторы представления классифицируются по уровням. Номер уровня равен п = г\ + ... + Гт- Например, вектор 1-2-\\ V ) относится к третвему уровню. Поэтому представление имеет естественную 2-градуировку М(к, с) = ®Мп(к, с). Количество базисных векторов на п-м уровне совпадает с числом р(п) разбиений п на положителвные целые числа: А1т]Мп(к, с) =_р(п). Некоторые из р(п) таковы: р(0) = 1, р(1) = 1, р(2) = 2, р(3) = 3, р(4) = 5, р(5) = 7. Исследование условий приводимости представления является важной задачей. Определение 5.3.2. Представление называется вырожденным, если существует нолв-вектор |%„) такой, что Шп) = (Л + п)|х„), ^|хп)=0, к > 0. (5.15) Число п называется вырожденноствю уровня. Вырожденное представление содержит подпредставление со старшими векторами |%„) на п-м уровне и поэтому является приводимым. Нолв-вектор отыскивается как линейная комбинация базисных векторов с неизвестными коэффициентами. Условия (5.15) приводят к системе линейных уравнений с двумя параметрами Лис. Количество уравнений и количество неизвестных равно У\ (п) = р(п — 1) + р(п — 2) и Щп) = р(п) — 1 соответственно. На втором уровне имеется два уравнения и толвко одно неизвестное. Связв между к и с на этом уровне дается выражением л=±5_с±А//с-25)(с-1))- (5.16) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=