112 Гл. 5. Контракции алгебры Вирасоро Количество уравнений но последующих уровнях растет быстрее, чео количество неизвестные, поэтому появление нолв-векторов становится редкоствю. Задача нахождения нолв-векторов полноствю решается с пооощвю билинейной формы но М(К, с). Пуств ш еств антиавтоморфизм слг^е^С^р^ы Вирасоро С{с), определяемой формулой шЦ) = 1—1, щ(с) = с, тогда существует симметричная билинейная форма ( | ) такая, что (с|/Ь) = (щ(7)с|Ь), где а,Ь е М(к,с), I е Г(с). Пуств р(п) х р{п) матрица Кп{к, с) еств матрица билинейной формы базисных векторов на п-ом уровне. Обращение в нолв детерминанта матрицы Кп(к, с) совпадает с условием существования нолв-вектора [80]. В зависимости от значения параметров к, с имеется три возможности: 1) представление неприводимо, тогда нет нолв-векторов; 2) подпредставления, порождаемые нолв-векторами, содержатся друг в друге; 3) имеются два подпредставления, содержащие все другие подпредставления. В последнем случае представления М{к, с) определяются соотношениями с = ! _ 6(д - р РЯ _ (дг-рз)2 - {г-р)1 (5.17) где 0 < г < р, 0 < 8 < д, в случае целых г, 8 и д = р\- 1 = 3,4,... Последние представления описывают пространство полей минимальных моделей в конформной теории поля. Вырожденность представления приводит к дифференциальным уравнениям но корреляторы полей [114]. Пусть алгебра Вирасоро ^-градуирована описанным выше способом. Построим 2--градуьрввку ее представления М{К,с). Пространство представления разбивается нс два подпространства: М(К, с) = Мо{К, с) + Мг {К, с), М0{К,с) = ®М'2п{К,с), М1{к,с) = ®М2п+1{К,с). (5.18) Градуировка элементов 1—ц ...I_,т обертывающей алгебры осуществляется разложением на два подмножество с четным и нечетным значением суммы 21 + ... +гт- Векторы из Мд{к, с) и М\(К, с) в терминах генераторов А и В выглядят следующим образом: ЛЛ ... ААВВ ...ВВ\У), к (5.19) где К — четное в случае Мо{К,с) и нечетное в случае М1{К,с). Выполняются уравнения 2--гсадуировкь: АМо С Мо, АМ\ С М1, ВМо С М1, ВМ\ С Мо. (5.20) Структуру 2^-градуированного представления можно записать в виде А В) Шо) _ ГАМо + ВМЛ В а) \М1) ~ \ ПМ0° + АМ1) ' (5.21) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=