114 Гл. 5. Контракции алгебры Вирасоро = (ИтМп(К, с) =р(п). Векторы нечетного уровня устроены следующим образом А_ ... Л_1пВ-ч\Ц) а его размерность равна ФпМ^п+1(Л, с) = ^(Д). (5.26) &=0 Физическое требование, чтобы спектр был ограничен снизу, приводит к условиям (5.14). Поскольку любой элемент 1р выражается как многократный коммутатор Ц и /2 > то в (5.14) вместо Д^) = 0, К > О достаточно наложить два условия: 1|г?) = 0, Д|г?) = 0. Тогда условия (5.14) на старший вектор упрощаются: Ао|г?) = Л|г?), с|г?) = с|г?), Во|г?) = 0, А^ц) = 0. (5.27) Для с“-контрактированной алгебры Вирасоро эти условия необходимо модифицировать, добавив уравнение Л2|г?) = 0, поскольку в противном случае генераторы Ар, К > 1 не порождаются коммутаторами Во и А[. Таким образом, условия существования ноль-векторов на уровне п принимают вид А>|х) = (Л + п)|х), Во|х) = О, А1|х) = 0, Д2|х) = 0. (5.28) Увеличение числа уравнений на четных уровнях по сравнению с (5.27) приводит к исчезновению ноль-векторов на этих уровнях. Можно проверить этот факт прямыми подсчетами. Соотношение Во|х) = О для нечетных уровней выполняется благодаря (5.25). Поэтому число уравнений остается неизменным, т.е. следует ожидать наличия ноль-векторов на нечетных уровнях. Число А) уравнений и число А2 неизвестных коэффициентов, которые определяют существование ноль-векторов на (2п + 1)-м уровне, легко находятся из (5.26) и (5.28): п—1 п—2 п А5 = Е(й) + № = ^Р(к-) -1. к=0 К=0 К=0 (5.29) Из этих выражений следует, что А) = А2 вплоть до одиннадцатого уровня и N1 > N2 для более высоких уровней. Рассмотрим подробнее несколько первых уровней. Прямыми расчетами устанавливаем наличие ноль-векторов на первом и третьем уровнях при любых значениях |х)щ=В_1|г?), |х>з = (В-2 - ^А_1В_1)Н (5-30) На пятом уровне ноль-вектор имеет вид |у>5 = (в_з + аА.-2В-! + б А - В-> + уА2-1В-1) (5.31) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=