Глава 6 ГЕОМЕТРИЯ АФФИННЫХ КОРНЕВЫХ СИСТЕМ В теории простых конечномерных алгебр Ли важную роль играет матрица Картана, которая может быть задана алгебраически, наложением определенных условий на ее элементы, или геометрически, с помощью корневой системы. Корневая система в евклидовом пространстве вводится как геометрическая аксиоматизация алгебраического понятия корней простой алгебры Ли. Корневые системы удается классифицировать и тем самым построить классификацию простых алгебр Ли. Аффинные алгебры Ли были открыты алгебраически — изменением условий на матрицу Картана [45]. Теория аффинных бесконечномерных алгебр во многом строится параллельно теории простых конечномерных алгебр. В ней, в частности, вводится понятие корневых систем. Основное отличие корневых систем, соответствующих аффинным алгебрам, — это наличие мнимого корня 5, обладающего свойством нильпотентности 62 = 0 и приводящего к бесконечномерно- сти алгебры. Естественно ожидать, что подходящее добавление этого свойства в систему аксиом обычной корневой системы приведет к аффинным корневым системам. Сопоставление свойств нильпотентности мнимых корней аффинных алгебр и нильпотентных единиц подсказывает, что аффинным алгебрам отвечают корневые системы в пространствах с вырожденной метрикой. Обобщение этого наблюдения приводит к предложению: изучать корневые системы в расслоенных пространствах постоянной кривизны и строить отвечающие им алгебры Ли. В данной главе находится пространство — пространство Кэрролла, корневые системы которого отвечают аффинным алгебрам. Сначала напоминаются необходимые факты из теории простых алгебр Ли и аффинных алгебр Каца-Муди. Затем вводится понятие вырожденной корневой системы и показывается, что ее матрица Картана аффинная. Далее, используя геометрические соображения, изучается строение (вырожденных) корневых систем в пространстве Кэрролла и демонстрируется, что вырожденные корневые системы и корневые системы аффинных алгебр Каца-Муди суть одно и тоже. Показано, что возникновение подгруппы сдвигов у аффинных групп Вейля легко объясняется метрическими свойствами вырожденных корневых систем. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=