118 Гл. 6. Геометрия аффинных корневых систем 6.1. Простые алгебры Ли и аффинные алгебры Каца-Муди Простая алгебра Ли может быть задана некоторой числовой матрицей А = (ар), называемой матрицей Картана, соотношениями Шевалле [Лг>Лф] — 0, [Лг> Су'] = <р}(р, [ЛО /у] = ®ц/,у> [^р, /у] = <^гуЛу> (6М и тождествами Серра (^<1еу)1_ау е. = (аа/л1_Оу ф. = ° (6.2) где /ц,е 1,ф1, 1= 1,2,,..,г — образующие Вейля. Матрица Картана А удовлетворяет условиям: 1) а^.^у € 2, 2) ар < 0 при г ф у, 3) ор * ф 3, 4) ар = 0 •=;> ар — О, 5) йе1(<ау) Ф 0. Все такие матрицы перечислены и, таким образом, классифицированы все простые алгебры Ли. Если переписать соотношения Шевалле в виде М,'1 — -«ДМ/?- (6.3) то линейные функционалы ау(Лу), называемые системой корней алгебры Ли, можно интерпретировать как набор векторов со специальными свойствами. Развитие этой идеи приводит к аксиоматическому определению корневых систем. Пусть задано евклидово г-мерное пространство У(г) с невырожденным скалярным произведением ( , ). Определение 6.1.1. Множество векторов По — {а,@,...} в пространстве У(г) называется корневой системой, если 1. отражения за : У(г) —> У(г) 5а(Я ) —3-2УДДа (6.4) не выводят из По; 2. Фа, (3 е По, 2п(а,3) — е2- целые числа; (а.а) ~ 3. линейная оболочка множества По совпадает с У(г) : >(По) — — У(г). Определение 6.1.2. Корневая система называется приведенной, если в ней отсутствуют параллельные корни (корни а и —а считаются антипарал дельными). Пусть У(г) — У1 ф Уг есть прямая сумма векторных пространств, а П1 и П2 являются корневыми системами подпространств У[ и У2 соответственно. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=