120 Гл. 6. Геометрия аффинных корневых систем и имеющий нулевую длину (5,5) =0. Аффинные корневые окотемы уотросны оледующим образом [45]: д = дгее^,дйп, (6.6) где мнимые корни кратт оообому корню 6 : Д = О{Ы О е 4, (6.7) л вещеотвенные корни имеют вид a) Дг-о = { + п5\а е По, п е 2}, еоли г = 1. b) Дг-о = {{ + п5\а е П8, п е 2} 13 [а + пг(|2а € П/, п е 2}, (2} еоли г = 2 или 3, л А не являетоя матрицей типа А2Ц. c) Д''' = {фа + (2п - Оаа еИ(, пеЩи □ {<л + п8\а е П8, пЕ 2} б{л + 2^^ е П/, п е 2}, (2} еоли А являетоя матрицей типа А2Ц. Л) Д-о + = Дге. е) Дфе = {а е Дг-1 при п > 0} 13 П+ о (6.8) Здеов По — корневая оиотема проотой алгебры Ли, Пз,П/ о По — мно- жеетла коротких и длинных корней ооответотвенно. Отражения порождают группу Вейля. Группа Вейля И7 аффинной алгебр! Каца-Муди и группа Вейля Иф ооответотвующей ей проотой алгебры Ли елязаны формулой полупрямого произведения И7 = ТфИф, где Т — подгруппа траноляций. Далее будет показано, что можно было, наоборот, отартуя о обобщения понятия корневой оиотемы, получитв оолабленные уоловия на матрицу Картана и подойти к понятию аффинных алгебр геометричеоки. При этом уотройотво корневых оиотем аффинных алгебр уотанав- ливаетоя о помощвю доотаточно проотого алгоритма. 6.2. Вырожденные корневые системы Раоомотрим (г+ 1)-мерное векторное проотранотво У(г, 1) о вырожденной метрикой оигнатуры (0, +,), т.е. окалярное произведение векторов V = (ро, ^1, • • • , Уг) и ш = ,цг} определяется как (р,щ) = У2У=1 уки>к- Геометричеоки У(г, 1) еотв тривиалвное гаоосое- ние, базой которого являетоя г-мерное евклидово проотранотво У(г), олоем — одномерное проотранотво, ортогоналвное У(г), а проекцией — отображение 7 : У(г, 1) —> У(г). При г = 3 проотранотво У(3, 1) может бытв интерпретировано как одна из возможных четырехмерных моделей пространства-времени, а именно кинематика Кэрролла [28, 98, 179] (ом. также раздел 2.2), поэтому будем называтв У(г, 1) проотранотвом Кэрролла. Его можно также получитв из У(г+ 1) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=