6.2. Вырожденные корневые системы 121 с помощью нильпотентной единицы. Пусть {во, ец еф} — ортонор- мированный базис евклидова пространства У(г + 1) со скалярным произведением (е,, еф = —, г = 0, 1..., г. Преобразуем базис, умножив базисный вектор во на нильпотентную единицу: {ед, в1,..., ег} —— {ье® ... е} — {ед, е 1,... е} (6.9) тогда отличный от нуля базисный вектор ео ф 0 имеет нулевую длину (ео,ео) — 0, ортогонален остальным базисным векторам (ео,о) — 0 и Ф) — Ькр, к,р — Указанные выше свойства особого корня мотивируют следующие определения. ~ Определение 6.2.1. Множество векторов П в пространстве Кэрролла У(г, 1) назовем вырожденной корневой системой, если оно удовлетворяет свойствам 1)—3) корневой системы из определения 6.1.1 (с заменой По на П, У(г) на У(г, 1)) и 4) Уа е П то ф 0, где 7 : У(г, 1) ф У(г) есть проекция на подпространство У(г). Понятия приведенных и неприводимых вырожденных корневых систем определяются аналогично случаю корневых систем. Приведенные неприводимые вырожденные корневые системы будем обозначать П. Определение 6.2.2. Базисом В = {а,, г = 0..., г} вырожденной корневой системы П назовем подмножество векторов ВсП, удовлетворяющее свойствам 1), 2) из определения 6.1.4 базиса корневой системы с естественными заменами. Определение 6.2.3. Матрицей Картана вырожденной корневой системы П назовем матрицу А, определяемую формулой (6.5) для аща- е В. Мнимому корню естественно сопоставить вектор в У(г, 1), указывающий направление вырождения ео- Требование 4) из определения 6.2.1 о том, что коллинеарные Ео векторы не содержатся в П, наложено для сохранения свойства 4) матрицы Картана аффинной алгебры. Утверждение 6.2.1. Проекция тг вырожденной корневой системы—П на У(г) дает корневую систему По простой алгебры Ли 7 : П ф По. Доказательство. Разобьем векторы вырожденной корневой системы П — {<д, на коллинеарные и перпендикулярные Ео компоненты: а = ао + а_ъ /3 — /Зо + .... Из свойства 4) вырожденной корневой системы имеем сщ ф 0, (3± ф 0,.... Отражения в П 6. Ю) при проекции 7г перейдут в отражения в По ^(/»х) — /Зю - 2 ф- (6.11) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=