122 Гл. 6. Геометрия аффинных Корневых систем т.е. для По = {одьД±,...} выполнено свойство 1) корневой системы. Далее из п(а>Д) = = 2(ао + ах,—о + -х) = 2 = п(с^щ>3±) е X ' ' (а, а) («о + а±,«о + а± ) а±,а± ' ' (6.12) следует выполнение свойства 2) корневой системы. Наконец, из Д(П) = = У(г, 1) вытекает, что линейная оболочка По совпадает с У(г), т.е. справедливо свойство 3), поэтому По еств корневая система простой алгебры Ли. □ Замечание 6.2.1. При проектировании приведенных вырожденных корневых систем могут получатвся неприведенные корневые системы. Забегая вперед отметим, что так случается, если вырожденная корне- ваясистема соответствует скрученной аффинной алгебре из серии . Утверждение 6.2.2. Матрицы Картина вырожденных Корневых систем — аффинные. ДоКазательство. Достаточно показатв, что условия 1), 2), За), 4), 5а), которым удовлетворяет аффинная матрица Картана, вытекают из определения вырожденных корневых систем. Целочисленность 1) следует из свойства 2) вырожденной корневой системы. Далее, аналогично случаю обычной корневой системы [77] показывается, что разность а — (3 является корнем, если п(а,3) >0, т.е. угол между проекциями векторов на У(г) острый. Для простых (базисных) корней п(сд,3) < 0, т.е. угол между проекциями векторов тупой, поэтому выполнено условие 2). Пусть а,3 Е П — произвольные корни. Имеем выражение п(а, Д)п^ф(3, а) = 4со8уу где, в отличие от невырожденного случая, — угол между проекциями векторов на У(г). Поскольку коллинеарность проекций не означает коллинеарности самих векторов, случай ч = 0 или п(а,3)пффа) = 4соа<> теперь не может быть отброшен, что отвечает условию За). Условие 4) следует из симметричности скалярного произведения. Остается доказать условие 5а). Ясно, что все метрические свойства вырожденной корневой системы определяются свойствами проекций ее векторов. В утверждении 6.2.1 показано, что они образуют корневую систему простой алгебры Ли. Все базисные корни вырожденной корневой системы будут проектироваться на подпространство У(г), образуя неострые углы друг с другом. При этом один из корней станет линейно зависимым, так как корневая система, образованная проекциями векторов вырожденной корневой системы, имеет ровно на один базисный корень меньше. Следовательно, матрица Грамма, составленная из базисных векторов вырожденной корневой системы, удовлетворяет свойству 5а). Деля столбцы на соответствующие квадраты длин базисных векторов, имеем то же свойство для матрицы Картана. □ Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=