6.2. Вырожденные корневые системы 123 Замечание 6.2.2. В книге [10] введено понятие допустимой системы векторов и показано, что если эта система линейно зависима, то ее матрица Картана аффинная. Классификация линейно зависимых допустимых систем векторов дается аффинными диаграмами Дынкина, и их матрицы Картана также аффинные. Сопоставляя определения и свойства вырожденной корневой системы и линейно зависимой допустимой системы векторов, легко понятв, что набор векторов, получающийся после проектирования и отождествления векторов вырожденной корневой системы, — это в точности линейно зависимая допустимая система векторов. Определение 6.2.4. Назовем вырожденные корневые системы эквивалентными, если их матрицы Картана одинаковы. Посколвку матрицы Картана вырожденных корневых систем определяются их проекциями, класс эквивалентности образуют все вырожденные корневые системы с одинаковыми проекциями на 'У(г). В общем случае проекция П на У(г) не содержится в П. Определение 6.2.5. Назовем П канонической вырожденной корневой системы, если фактор-система -7П/13 = По С П, где Р = {(3 Е тП | 2(3 Е Е тП} или Р = {(3 Е тП | —(3 Е тП}, т.е. если приведенная корневая система По содержится в подпространстве У(г). Построим базис В = {сед, К} = {ао, ад, • • •, аг} канонической вырожденной корневой системы. Ясно, что в качестве К следует взятв базис корневой системы По- Осталосв построите (г + 1)-й базисный корень «о = тгао + Жо Е У(г, 1), 8 Е Ж т.е. фактически выбрать проекцию 7гав в подпространстве У(г) так, чтобы набор векторов {тао,-^} в соответствии с утверждением 6.2.2 порождал аффинную матрицу Картана. Ясно, что -као есть линейная комбинация векторов из К, причем такая, что (тло.а/,.) Н 0, к = \,...,г. Как отмечалось в утверждении 6.2.1, По = 7"П может быть как приведенной корневой системой, так и неприведенной. Пусть По = По — приведенная корневая система, тогда тао Е По. Если среди К = {щ аг} есть корни разной длины, т.е. длинные а/ и короткие н 8 корни, то возможны два варианта: 1) |7гско| = |а/|. Все корневые системы По простых алгебр Ли имеют старший вектор 9 = арар, где ар — метки на диограммах Дынкина простых алгебр Ли, удовлетворяющий свойству (0, ар) ф О, к = 1...,г, причем |0| = |сг|. (Если все корни в К одинаковой длины, то считаем их длинными корнями.) Полагая 7гад = —9, получаем базисы В корневых систем всех нескрученных аффинных алгебр (см. [45], с. 104). 2) |7г<оед| = |ск3|. Корневые системы По простых алгебр Сг, Вг, Р4, б?2, помимо 9, содержат корень 9 = '52р=['арар, где ар — метки Каца но диаграммах Дынкина аффинных алгебр, удовлетворяющий свойству (9, ар) фО, к = 1,.., г, причем |0| = |св |. Полагая л-ско = — 9, получаем Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=