124 Гл. 6. Геометрия аффинных корневых систем базисы В корневых систем всех скрученных аффинных алгебр, кроме серии А— (см. [45], с. 104). Пуств теперв По = По 61 Р — неприведенная корневая система (имеются коллинеарные векторы вдвое менвшей длины, чем длинные корни сц Е По, или коллинеарные векторы вдвое болвшей длины, чем короткие корни — е По). Если тгло Е По, то из рассмотренного выше следует, что тП = По — приведенная корневая система, а здесв По — неприведенная, т.е. таким способом требуемую вырожденную корневую систему мы не построим. Остается вариант тгло — По, тогда, если |тгао| = 2;|а^г1’ т0 ^гао = ——— — а если 17тто| = 2|а3|, то тгло = — 20, где 0 — старший коренв По- В этом случае получаем базисы В корневых систем скрученных аффинных алгебр серии А— (см. [45], с. 104). Таким образом, опираясв на свойства вырожденных корневых систем и свойства корневых систем простых алгебр Ли, мы построили базисы корневых систем всех аффинных алгебр. Множество отражений вырожденной корневой системы образует группу Вейля И7, которая порождается фундаменталвными отражениями 8а0,8а^...,8аг относителвно базисных корней. Последние г фундаменталвных отражений, очевидно, генерируют подгруппу Иф. Рассмотрим построенную из отражений к-ю степень оператора сдвига корня х вдоль со: (6.13) где а, кбго — а, х Е П и корни а, х неортогональны (сд, ж) — 0. Множество сдвигов вырожденной корневой системы образует коммутативную подгруппу сдвигов Т. Нетрудно показать, что группа Вейля И7 есть полупрямое произведение своих подгрупп И7 = ТфИо. Выясним теперь устройство вырожденных корневых систем. Для этого достаточно учесть тот факт, что отражения не меняют длину корня и его До компоненту щ(<5До) = <е1о, т.е. подгруппа Иф действует транзитивно на множествах корней одинаковой длины с одинаковыми ■До координатами, и построить операторы сдвигов корней разных длин. Полная система корней есть объединение мнимых и вещественных корней: П = П.,,. 14 П,то> где П,„, = {пОД 1о|п Е 2}. Осталось построить П,е. Рассмотрим строение П,.,. в случае нескрученных аффинных алгебр. Для этих алгебр корень «о имеет максимальную длину |ско| = |сд|. Действуя на «о = 7'Ло + Сг1о, 7гсдо € По отражениями из Иф, находим подмножество сдвинутых длинных корней {Пд + <е1о}. Короткий корень ат сдвигаем оператором 1ат_кат) = <дто+ 5До, где сдто-1 — длинный корень, не ортогональный ат, т.е. соединенный с ат на диаграмме Дынкина. Здесь т = 1 для сГ 1 \ т = 2 для т = 3 для р\1[ т = г для в\11 . С помощью отражений из Иф находим сдвиг множества коротких корней Щ + СДо- Поскольку для нескрученных Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=