6.2. Вырожденные корневые системы 125 алгебр Пд 1) Пд = По, то По С У(г) переходит в По + <е1о С У(г, 1). Следующий шаг — сдвиг длинного корня «о : /■«,, (ло) = «о + 5ео, где р = 6 для Е§ \ р = 2 для Вг1\Пг1\ р = 1 для остальных нескрученнвш аффиннвш алгебр. Повторение процедуры сдвига длинных и коротких корней приводит к множеству {По + 2<ео}- Аналогично строятся сдвиги По в отрицателвном направлении оси е1о- Таким образом, вырожденные корневые системы нескрученнвш аффиннвш алгебр имеют вид Пге = {По + п<5ед| п е 2}. (6.14) Для скрученнвш алгебр (кроме А^) коренв имеет минималвную длину |ско| = |<аз|. Действуя на «о = 7гад + 6Ао, тао € По отражениями из Иф, находим подмножество сдвинутых коротких корней {Пд + <до}- Длинный коренв ат сдвигаем оператором 1ат_1(ат') = ат + 26г1о, где ат_1 — короткий коренв, не ортогоналвный ат. Здесв т = 1 для т = 2 для , т = 3 для Е^2>, т = г для С помощвю отражений из Иф находим сдвиг множества длиннвш корней {П{ + 2<51о}- Следующий шаг — сдвиг коротких корней: корня ад по формуле 1а,ЛаА = «о + <5ед = 7гад + 2^еГо, р = 1 для Е)(2\е(62\ р = 2 для и корня ат в случае Е)^_1 по формуле = аг +25До. (Оператор ^г_1 = з&',г о,,. не определен, посколвку <А о — аг-1 П П, поэтому исполвзуем оператор ^г_г) Преобразования из подгруппы Иф переводят сдвину-тиш короткие корни в множество {Пд + 26е 1 о}- Длинною корни из множества {ПД + 2<5Ао} оператором ^2т-1 (а"о) = ат + 4<5Ао, и преобразованиями из Иф переводятся в множество {Пд + 42>г 1д}. Пте скрученных аффинных алгебр (за исключением А^) еств объединение сдвинутых множеств коротких и длинных корней: Пге = {Пд + пб^о} С) {Пд + пКбец}, пе2, К = 2,3. (6.15) найдем строение Пге для алгебр у которых |с*о| = Д|аД < < |«3| < |а/| и 7^ао П Пд. Оператор 1ао сдвигает короткий коренв «1 е По, |<Д11 = |а3| на 2<5ео: ДДаф = «I + 2<5ео- Оператор 1а1 = = 8йео-а1)3а11 не определен, посколвку бго — «1 П П, поэтому операторы сдвига коротких корней ар имеют вид 12хк(ак+1) = ар+1 + 2<5Дд, К = = 12,...,г — 2. Преобразования из подгруппы Иф переводят сдвинутые короткие базисные корни в множество Пд + 2<5ео- С помощвю операторов Д”о, В2к’ п Е Ж короткие базисные корни сдвигаются на 2п$го и затем размножаются группой Иф, в резулвтате получаем подмножество П1 = {Пд + 2пд.ео|'П € 2}. Длинный коренв аг Е Пд, |аг| = |сД сдвигается на 4<5ео : ^г_ А'-) = аг + 4<5ео- Аналогично, с помощвю операторов сдвига Д”^ и отражений из Иф находим подмножество длинных корней Щ = {П{ + 4и5ео|п е 2}. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=