126 Гл. 6. Геометрия аффинных корневых систем Ооталооь выяонить отроение корней длиной ^1 = ту |°/|- Отражения из Иф переводят базионый корень «о = ягод + Оо в набор корней {-Пд + (>ео}, поокольку огло = — -в. Оператор О 1 одвигает «о на 2(5ео: («о) = «о + 2<5ео = лгао + 3<5ео, л преобразование из подгруппы Иф переводит одвинутый корень в набор {-Пд + 3(ео}. Степени О , п Е 2 и отражения из Иф порождают подмножеотво Пз = {^Пд + (2п + 1 )<5ео|п е 2}. Вещеотвенные корни алгебры получаютоя объединением подмножеотв ПыПз.Пз (п Е 2): Пге = {уП^д + (2п + б) {Щ + 2^°]- 13 {Пд + 4п5г0}. (6.16) Таким образом, корневая оиотема в проотранотве Кэрролла о вырожденной метрикой еоть геометричеокая акоиоматизация оиотемы корней аффинной алгебры. Аффинные группы Вейля предотавляют оо- бой группы отражений вырожденных корневых оиотем. Иопользование наглядных геометричеоких ооображений дало возможнооть получить доотаточно проотое алгоритмичеокое поотроение базиоов воех вырожденных корневых оиотем и опиоание их уотройотва. Анализ обоуждаемых в литературе других типов алгебр Каца- Муди показывает, что их матрицы Картана могут быть получены геометричеоки. Например, корневые оиотемы в поевдоевклидовых про- отганотвах овязаны о гиперболичеокими алгебрами Каца-Муди [197] и алгебрами Борхердоа [117, 139]. При этом алгебраичеокое уоловие на оимметризованную матрицу Картана ац = 0 геометричеоки ооответ- отвует олучаю, когда базионый корень принадлежит конуоу (ж, ж) = О, л уоловие ац < 0 означает, что базионые корни имеют как положительную, так и отрицательную длину, т.е. раоположены в разных полах конуоа. Корневые оиотемы в проотранотве о двукратно вырожденной метрикой овязаны, по-видимому, о тороидальными алгебрами [136, 163]. Такая геометричеокая интерпретация позволяет уотановить овойотва их матриц Картана. Так, кроме изменения уоловия 5а), переотает выпол- нятьоя овойотво ац) < 0 при г 2 Д, поокольку невозможно размеотить п + 2 проекции базионых корней на п-мерное евклидово подпростран- отво так, чтобы вое углы между ними были неоотрые, т.е. чтобы вое окалярные произведения между ними были неположительные. Яоно, что это влечет модификацию тождеотв Серра. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=