Предисловие Теоретико-групповые методы составляют неотъемлемую паств современной теоретической и математической физики. Достаточно напомнитв, что наиболее продвинутая теория фундаменталвных взаимодействий — стандартная электрослабая модели — является калибровочной теорией с калибровочной группой 5У(2) х У(1). В различных областях физики находят применения все типы классических групп: ортогональные, унитарные и симплектические, а также неоднородные группы, представляющие собой полупрямые произведения своих подгрупп. Группы Евклида, Лобачевского, Галилея, Лоренца, Пуанкаре, анти-де Ситтера лежат в основе пространственных и пространственновременных симметрий. Супергруппы и суперсимметричные модели в теории поля предсказывают существование суперсимметричных партнеров известных элементарных частиц. Квантовые деформации групп и алгебр Ли приводят к некоммутативным моделям пространства- времени (или кинематикам). Контракции групп Ли — это метод получения новых групп Ли из исходных. В стандартном подходе Вигнера-Иненю [164] процедура контракции состоит в введении в группу одного или нескольких параметров е таким образом, чтобы в пределе е —> 0 сохранялись групповая структура и размерность группы Ли, а групповое умножение изменялось. Хорошо известно, что проще изучать невырожденные структуры. Так, общую группу Ли можно представить в виде полупрямого произведения полупростой и разрешимой групп и свести проблему классификации групп Ли к классификации полупростых и разрешимых групп. Однако, если полупростые группы Ли давно классифицированы, то получить классификацию разрешимых групп Ли нет никакой надежды [57]. В общем случае контрактированная группа представляет собой полупрямое произведение своих подгрупп. В частности, контракция полупростых групп Ли приводит к неполупростым группам. Поэтому метод контракций является инструментом изучения неполупростых групп, отталкиваясь от хорошо изученных полупростых групп Ли. Метод контракций (предельных переходов) впоследствии был распространен на другие типы групп и алгебр. Градуировочные контракции (§;га1е1 сопкасНопз) [191, 194] дополнительно сохраняют введенную на алгебре Ли градуировку. Контракции биалгебр Ли [105] сохраняют алгебру Ли и кокоммутатор. Контракции алгебр Хопфа (или квантовых групп) [123, 124] вводятся так, чтобы в пределе е —> О получались новые выражения для коумножения, коединицы и антипода, удовлетворяющие аксиомам алгебры Хопфа. Все это привело Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=