10 Предисловие к обобщению понятия контракции на произвольные алгебраические структуры [147]. Определение 1.1. Контракцией алгебраической структуры (М, */ называется зависящее от параметра е отображение с : (Ж,*) -> «**'), (1) где (ЛГ, *') есть алгебраическая структура рассматриваемого типа, изоморфная (М, *) при е ф 0 и неизоморфная при е = 0. Существует другой подход [28] к описанию неполупростых групп (алгебр) Ли и отвечающих им квантовых групп, основанный на рассмотрении этих алгебраических структур над алгеброй Пименова Р„(г) с нильпотентными коммутативными образующими. При этом важный класс групп — групп движений пространств с постоянной кривизной (или групп Кэли-Клейна) — реализуется как матричные группы специального вида над Р„(г) и может быть получен из простой классической ортогональной группы заменой ее матричных элементов на элементы алгебры Р„(г). Оказывается, что такая замена формально совпадает с введением параметров е в методе контракций Вигнера-Иненю [164]. Тем самым наш подход демонстрирует, что математической основой метода контракций алгебраических структур является существование соответствующих структур над алгеброй Р„(г). Следует отметить, что оба подхода дополняют друг друга и в конечном счете приводят к одинаковым результатам. Нильпотентные образующие удобнее использовать при математическом анализе контракций, тогда как стремящийся к нулю контракционный параметр больше отвечает физической интуиции, в соответствии с которой состояние физической системы изменяется непрерывно и система плавно переходит к своему предельному состоянию. В главах 8 и 15, посвященных применению метода контракций, используется как раз традиционный подход. В геометрии известно (см. обзор [84]), что с помощью проективной метрики можно получить 3" геометрий размерности п, допускающих максимальную группу движений. Р.И. Пименов [64, 69]предло- жил единое аксиоматическое описание всех 3" геометрий пространств постоянной кривизны (геометрий Кэли-Клейна) и показал, что все они локально моделируются в виде области п-мерного сферического пространства с именованными координатами, которые могут быть вещественными, чисто мнимыми или нильпотентными. В соответствии с Эрлангенской программой Ф. Клейна, главное в геометрии — это ее группа преобразований, тогда как свойства преобразуемых объектов — вещи второстепенные. Группа движений п-мерного сферического пространства изоморфна ортогональной группе 8О(п+ 1). В свою очередь, группы, получающиеся из 5<9(п + 1/ контракциями и аналитическими продолжениями, изоморфны группам движений систем Кэли-Клейна, что обеспечивает геометрическую интерпретацию схемы контракций Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=