Предисловие 11 Кэли-Клейна. По аналогии эта интерпретация переносится на случай контракций других алгебраических систем. Цель настоящей книги — дать единое описание групп (алгебр), супералгебр и квантовых групп Кэли-Клейна с помощью контракций ортогональных, унитарных, симплектических групп (алгебр) Ли, классических супералгебр и квантовых деформаций простых классических групп. Метод, позволяющий достичь поставленной цели, — это имеющий ясную геометрическую интерпретацию метод переходов, основанный на введении набора контракционных параметров у’ = (Д, ... ,у„), каждый из которых принимает по три значения: вещественная единица, чисто мнимая единица, нильпотентная единица. Метод переходов между группами, помимо самостоятельного интереса для теории групп, представляет интерес и для теоретической физики. Если имеется теоретико-групповое описание физической системы с какой-то группой симметрии, то контракция группы симметрии отвечает некоторому предельному поведению системы. Таким образом, переформулировка описания системы в терминах метода переходов и физическая интерпретация параметров у’ открывает возможность изучать поведение физической системы в различных предельных случаях. Пример такого подхода изложен в главе 8 для электрослабой модели взаимодействия элементарных частиц. Представляется, что развитый формализм является необходимым инструментом для построения «общей теории физических систем», в соответствии с которой «необходимо перейти от инвариантногруппового изучения одной отдельно взятой физической теории или геометрии, понимаемой в смысле Клейна (т. е. характеризуемой заданием основной группы), к одновременному изучению сразу того или иного множества предельных теорий. Тогда некоторые физические и геометрические свойства будут инвариантными характеристиками всего множества теорий — их следует рассматривать в первую очередь. Другие свойства будут специфичны только для конкретных представителей множества и будут меняться при предельном переходе от одной теории к другой» [41]. Часть первая монографии посвящена контракциям классических групп и некоторым их применениям. В главе 1 кратко описывается алгебра Пименова с нильпотентными образующими, даются определения ортогональных, унитарных и симплектических групп Кэли-Клейна, находятся их генераторы, коммутаторы и операторы Казимира преобразованием соответствующих величин классических групп. Далее (раздел 1.5) исследуется структура переходов между группами и устанавливается, что в качестве исходной для получения всего набора групп Кэли-Клейна можно взять группу в произвольном нерасслоенном пространстве. В главе 2 подробно рассматриваются кинематические группы и дается интерпретация кинематик, включая экзотические кинематики Кэрролла, как пространств постоянной кривизны. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=