7.4. Операторы Казимира 135 О О О о о о /00 е31 = р- = ( о о \ V О Е1з = Р+ /0 0 °\ /0 0 0 Е32 = Р+ = | 0 0 0 , ,23 = р =1 0 0 фД и фД 0 / к 0 0 0 (7.25) и дейотвуют на оуперпроотранотве (жьдхХ2\&Ох). Коммутационные оо- отношения генераторов имеют вид [2Н] = [2,ЕУ] = [ЕДУ*] = [ЕДРД = О, [Н, Е±] = ±Е±, [Е+, Е-] = 2д2Н, [Н, р±] = ±ЦЯ±, [н, рД = ^-гД [2, р±] = Vр±! [2, р±] = - Уя±> [Е+, Р~] = -Р\ [Е~,р+] = -Др-, [Е+,Р~]=д2р+, [Е~,Р+]=Р~", {Р+,Р-} = Р./1(^- ЯД {Р+,Р+} = и2Е+, {Р-,Р+} = Д^Я), {Р—,р-} = и2Е-, {Р+,Р-} = {Р+,Р-} =0. (7.26) При и = ь получаем полупрямую оумму абелевой нечетной подалгебры о прямой оуммой четных подалгебр, именно в/(2;Д;г|1) = = {р±,р }э(и(1) ф 8/(2)). Двухпагамттгичтокая контракция и = = = и приводит к подобной полупрямой оумме 8/(2; гр г| 1) = = {Р^. Г=}ф(г((1) ф 8/(2; и)), но о подалгеброй 8/(2; п) = {Н, Е±} вмеото 8/(2). При контракции Д = о 1 имеем полупрямую оумму з!(2: м; р| 1) = {Е± р+, Р }${Я,я,я_,я+} подсупералгебр, каждая из которых порождаетоя как четными, так и нечетными генераторами. 7.4. Операторы Казимира Изучение операторов Казимира имеет болвшое значение в теории предотавлений проотых алгебр Ли, пооколвку их ооботвенные значения характеризуют неприводимые предотавления. В олучае оупералгебр Ли ооботвенные значения операторов Казимира полноотвю характеризуют толвко типичные предотавления, в то время как для атипичных пред- отавлений они тождеотвенно равны нулю. Определение 7.4.1. Элемент С универоалвной обертывающей оу- птгасгебры /7(А), оуперкоммутирующий оо воеми ее элементами [С, Х]з = О УХ т Д(А), называетоя оператором Казимира оуIIе■раеIгебр)1I А. Алгебра операторов Казимира оуIIераеIгеб|^и А образует 2у-центр Я(А), который являетоя (2--гродуироланнн0) подалгеброй Я(А). Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=