136 Гл. 7. Контракции супералгебр 7.4.1. Операторы Казимира супералгебр 81{гп\п) и О8-р{гп\п). Операторы Казимира основных супералгебр строятся следующим образом [88, 138, 178]. Пусть А = а!(т|п) с т — п или о8р(т\п) — основные супералгебры Ли. Пусть {Ец} есть матричный базис генераторов А, где I,- = 1..., т + п. Первые т индексов I = 1,... ,т четные бе§ I = 0, а следующие т индексов I = т + 1... ,т + п — нечетные бе§-1 = 1. Определяя (Е^к = (—Г^еКЕ^, получаем стандартный набор операторов Казимира по формуле т+п Ср = з1г(ЁР = 52 (-ААгг = 1=\ т+п = 52 жна. Аи-о^-А (7.27) В случае супералгебры з/(т|п) с т — п находим, например, С\ = О, т т+п ■ - 'уе' Е 52 М’=! -,1=т+\ т т+п + Е Е (Ек-ЕГкЕ-к,--^У\ (7.28) «=1 -=т+1 Диагональные элемента матрицы Е выбраны в виде (Е')ц = Ец + -1 У, (77)-^ = — Е-^ -1—У, кроме того, приняты во внимание два условия на генерат°ры: ^= 1 Ец = 0, ЕЕЕщ = 0Для супералгебры озр(т\п) получаем С\ = О, т т+п т т+п & - \2ЕиЕ„- 52 -%%+Е Е (аал)- М=1 -,1=т+1 '=1 -=т+1 (7.29) Следует подчеркнуть, что в отличие от обычных алгебр Ли центр универсальной обертывающей алгебры Д(А) для классических супералгебр Ли, вообще говоря, не является конечно порожденным. Только для озр(1|2п) центр ее универсальной обертывающей супералгебры порождается п операторами Казимира степени 2,4,..., 2п. 7.4.2. Операторы Казимира супералгебры «(т; у|п;е). Чтобы описать операторы Казимира супералгебры 81{гп;Д\п; е), поступим следующим образом. Во-первых, найдем матрицу 77(у;е). Для этого подставим в матрицу Е новые генераторы супералгебры 81(т;д\п;е) вместо старых генераторов 81(т;п) согласно (7.23) и обозначим полученную матрицу !?(—>). В общем случае ее элементы не определены при нильпотентных значениях контракционных параметров у, щ р. Поэтому Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=