7.4. Операторы Казимира 137 необходимо умножить матрицу !?(—>) на минимальный множитель, который исключит все неопределенные выражения в матричных элементах, а именно р(1,т)[1,п]. В результате получим Ё(Де) = 1/(1,т)[1,п]Я(-ч-) (7.30) с матричными элементами (к Д р, кДр) (ЁД'Оркк = иДтЦДгрЕкк + ]У), (Ж еУкк = >т) [1 , п](--Е^+ ^У), (Ё(з;еУ)кр = и(1,к)(р,т^)[1,п\Екр, (Ё(у;Е))^ = 1/(1,т)[1Д][^,п]Е/7-, (ЁУУеУУк = -(г’т)1[’п]Е{к’ (Е(.Т’ еУЪк = (7-31) Максимальный множитель р(1,т)[1,п] имеют диагональные элементы, а_минимальный (единичный), множитель имеют матричные элементы (ЕД, ?У)т,т+п — Ет<т+'п., (-ЕД, б))т+п,т — Ет—п.т‘ Теорема 7.4.1. Операторы Казимира унитарной супералгебры Кэли-Клейна з1[гт,э\п\ е) описываются выражением Ср^Дуе) = ОгЕДдД = рр(1, т)р[1, п]р8К(Е-д)')р. (7.32) Доказательство. Действительно, пусть X* есть произвольный генератор з/(т|п). При вычислении суперкоммутатора )Ср,Х*]8 = 0 получаются одинаковые слагаемые с противоположными знаками (плюс и минус) так, что их сумма равна нулю. При преобразовании этого коммутатора в соответствующий коммутатор супералгебры Кэли-Клейна з1(т; Дп; е) одинаковые слагаемые домножаются на одинаковые множители, поэтому их сумма остается равной нулю, т.е. )СД(Д; е), Х]8 = = 0. □ Проиллюстрируем приведенные выше выражения на простом примере супералгебры з1(2;Д,1). Генераторы преобразуются следующим образом Ец—-?Д, У — У*, Е12—ДЕД Е21 — ДЕД Е[3 — иЕД Е3\ = иЕД Е33 = иДЕД, Е33 = [ДЕ32> (7.33) а матрица Е(Д), согласно (7.31), равна ЕД\) = иДЕ(-Д = ( Еп + 1у ]В12 1 2 71 1 —Ез —Е33, + 2 У .71 2 —т-------------1------------ -?31 — Е32 и ир\ \ = 3 Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=