162 Гл. 9. Квантовые ортогональные группы Кэли-Клейна Определение 9.2.2. Алгебра О О (С) с образующими ац ... ,хх и коммутационными соотношениями _ -1 Я(х® х) = дЗ ®——'г—Х(СХА,,, (9.27) 1 + « где Кч = РКЧ, Ри®х = V ®и, Уи,х е С”, = ХХ1 (А'е® ер, N п х*Сх = ^2 хгСаХэ = е3п+\ + 52 (.1~ркХкХк' + 9ркХк'Хк} , (9.28) г,3 = 1 к=1 е = 1 при N = 2п + 1, е = 0 при N = 2п и вектор (еку = 6{к, г,к = = 1,...,Л’, называется алгеброй функций на квантовом Лг-мерном евклидовом пространстве (или просто квантовым евклидовым пространством). Действие квантовой группы 5<Эд(Лг) на некоммутативном векторном пространстве О^ (С) определяется формулой п 8(х) = Т®х, 5(ж,) = 52^® Хк’ г=1,...,п, (9.29) к=\ и квадратичная форма (9.28) инвариантна относителвного этого кодей- ствия. Вещественные формы квантовых групп классифицируются с помощью *-антиинволюции. Определение 9.2.3. *-Антиинволюцией алгебры Хопфа А называется отображение * : А — А, являющееся антиавтоморфизмом алгебр и автоморфизмом коалгебр, удовлетворяющее условиям антиинволюции За <= А (а*)* = а, 3(3(а*)* = а. (9.30) Для квантовых групп вещественные формы зависят от свойств параметра деформации и Л-матрицы (9.22) относителвно комплексного сопряжения. В случае квантовых ортогоналвных групп имеется две возможности [72]. __ При |д| = 1, т.е. д = е’“, а е Ж имеем д = д_1, Кд = К-1, где черта обозначает комплексное сопряжение. Коммутационные соотношения (9.4) перепишутся ДдТ*Т2* = Т^Т^Кх, где матрица Т* = (^^^/в)5/е=^1- Отсюда после несложных рассуждений следует равенство Т* = Т, что приводит к определению. Определение 9.2.4. Квантовыми группами ЗОх(п, п), N = 2п и ЗОд(п,п + 1), N = 2п+ 1 называется квантовая ортогоналвная группа 5'(Эд(А’’), снабженная *-антиинволюцией 11*=1к, г,к= 1,...,А’’. Вторая возможности, более интересная, с точки зрения контракций, и которой мы будем придерживаться, если иное не указано явно^возникает при вещественном параметре деформации д € Ж когда Кд = Кд и соотношения (9.4) перепишутся КДТкТ* = Т*ТкКдо Из свойства КД = РКдР и (9.4) следует, что *-антиинволюция имеет Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=